Sistema de ecuaciones: Deportes acuáticos

**a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.** Primero, definimos las variables que representan lo que nos pide el problema: - $x$: número de personas (o sesiones) de **paddle surf**. - $y$: número de personas (o sesiones) de **kayak**. - $z$: número de personas (o sesiones) de **moto acuática**. Ahora, traducimos el enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. **Total de sesiones:** Se han vendido 45 sesiones en total. $$x + y + z = 45$$ 2. **Recaudación total:** Sumamos el precio de cada actividad multiplicado por el número de personas, igualándolo a $1700 €$. $$40x + 20y + 60z = 1700$$ Podemos simplificar esta ecuación dividiendo todos sus términos entre 20 para facilitar los cálculos posteriores: $$2x + y + 3z = 85$$ 3. **Relación entre actividades:** "Por cada persona que elige kayak ($y$) hay tres que eligen paddle surf ($x$)". Esto significa que el número de paddle surf es el triple que el de kayak: $$x = 3y \implies x - 3y = 0$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado al plantear relaciones de proporcionalidad. Si por cada kayak hay 3 de paddle, hay *más* de paddle, por lo que la ecuación correcta es $x = 3y$, no al revés. El sistema resultante es: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 45 \\ 2x + y + 3z = 85 \\ x = 3y \end{cases}}$$

**b) ¿Cuántas personas van a cada actividad?** Dado que tenemos una variable despejada ($x = 3y$), el método de **sustitución** es el más rápido. Vamos a sustituir $x$ en las otras dos ecuaciones: 1. En la primera ecuación ($x + y + z = 45$): $$(3y) + y + z = 45 \implies 4y + z = 45$$ 2. En la segunda ecuación simplificada ($2x + y + 3z = 85$): $$2(3y) + y + 3z = 85 \implies 6y + y + 3z = 85 \implies 7y + 3z = 85$$ Ahora tenemos un sistema más pequeño de dos ecuaciones con dos incógnitas ($y$ y $z$): $$\begin{cases} 4y + z = 45 \\ 7y + 3z = 85 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Siempre que tengas una relación directa entre dos variables como $x=3y$, sustitúyela de inmediato para reducir el número de incógnitas.

Despejamos $z$ de la ecuación $4y + z = 45$: $$z = 45 - 4y$$ Sustituimos este valor en la ecuación $7y + 3z = 85$: $$7y + 3(45 - 4y) = 85$$ $$7y + 135 - 12y = 85$$ $$-5y = 85 - 135$$ $$-5y = -50 \implies y = \frac{-50}{-5} \implies **y = 10**$$ Ahora calculamos $x$ utilizando la relación $x = 3y$: $$x = 3(10) \implies **x = 30**$$ Finalmente, calculamos $z$ sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones iniciales, por ejemplo $x + y + z = 45$: $$30 + 10 + z = 45 \implies 40 + z = 45 \implies **z = 5**$$

Una vez hallados los valores, comprobamos que tienen sentido en el contexto del problema (deben ser números enteros y positivos): - Número de personas en paddle surf ($x$): **30** - Número de personas en kayak ($y$): **10** - Número de personas en moto acuática ($z$): **5** Comprobación rápida: - Total: $30 + 10 + 5 = 45$ (Correcto) - Recaudación: $40(30) + 20(10) + 60(5) = 1200 + 200 + 300 = 1700$ (Correcto) - Proporción: $30$ es el triple de $10$ (Correcto) ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Paddle surf: 30, Kayak: 10, Moto acuática: 5}}$$