Optimización de la producción de tarrinas de helado

**a) Formular el correspondiente problema de programación lineal.** En primer lugar, definimos las variables de decisión que representan lo que queremos calcular: - $x$: número de tarrinas de tamaño **pequeño** producidas semanalmente. - $y$: número de tarrinas de tamaño **grande** producidas semanalmente. El objetivo es maximizar el beneficio total. Según el enunciado, cada tarrina pequeña aporta $2€$ y cada tarrina grande $4,50€$. Por tanto, la función objetivo es: $$f(x, y) = 2x + 4,5y$$ 💡 **Tip:** Identifica siempre las variables de decisión a partir de la pregunta final del problema. En este caso, nos preguntan por la cantidad de tarrinas de cada clase.

Para formular las restricciones, debemos unificar las unidades (usaremos gramos) y organizar los datos de los ingredientes y la demanda: 1. **Restricción de Turrón:** Disponemos de $400$ kg, es decir, $400,000$ g. $$200x + 500y \le 400,000 \implies 2x + 5y \le 4,000$$ 2. **Restricción de Pistacho:** Disponemos de $255$ kg, es decir, $255,000$ g. $$150x + 300y \le 255,000 \implies 15x + 30y \le 25,500 \implies x + 2y \le 1,700$$ 3. **Demanda mínima:** - Al menos $200$ pequeñas: $x \ge 200$ - Al menos $50$ grandes: $y \ge 50$ El problema de programación lineal queda así: $$\text{Maximizar } f(x, y) = 2x + 4,5y$$ $$\text{Sujeto a: } \begin{cases} 2x + 5y \le 4,000 \\ x + 2y \le 1,700 \\ x \ge 200 \\ y \ge 50 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Es fundamental que todas las cantidades de una misma restricción estén en la misma unidad (no mezcles kg con g).

**b) Representar la región factible.** Para representar la región factible, dibujamos las rectas correspondientes a las desigualdades y sombreamos la zona común que cumple todas las condiciones: - **$r_1: 2x + 5y = 4,000$**: Pasa por $(0, 800)$ y $(2,000, 0)$. - **$r_2: x + 2y = 1,700$**: Pasa por $(0, 850)$ y $(1,700, 0)$. - **$r_3: x = 200$**: Recta vertical. - **$r_4: y = 50$**: Recta horizontal. La región factible es el polígono convexo formado por la intersección de estos semiplanos.

Calculamos los puntos de corte (vértices) de la región factible: - **Vértice A:** Intersección de $x = 200$ y $y = 50$. $\implies A(200, 50)$ - **Vértice B:** Intersección de $x = 200$ y $2x + 5y = 4,000$. $2(200) + 5y = 4,000 \implies 5y = 3,600 \implies y = 720$. $\implies B(200, 720)$ - **Vértice C:** Intersección de $2x + 5y = 4,000$ y $x + 2y = 1,700$. Despejamos $x = 1,700 - 2y$ y sustituimos en la otra: $2(1,700 - 2y) + 5y = 4,000 \implies 3,400 - 4y + 5y = 4,000 \implies y = 600$. $x = 1,700 - 2(600) = 500$. $\implies C(500, 600)$ - **Vértice D:** Intersección de $x + 2y = 1,700$ y $y = 50$. $x + 2(50) = 1,700 \implies x = 1,600$. $\implies D(1,600, 50)$ $$\boxed{Vértices: A(200, 50), B(200, 720), C(500, 600), D(1,600, 50)}$$

**c) ¿Cuántas tarrinas de cada clase debe producir la fábrica cada semana si quiere maximizar sus beneficios? ¿Cuál es el beneficio máximo?** Evaluamos la función beneficio $f(x, y) = 2x + 4,5y$ en cada uno de los vértices calculados: $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Vértice} & f(x, y) = 2x + 4,5y & \text{Beneficio (€)} \\ \hline A(200, 50) & 2(200) + 4,5(50) = 400 + 225 & 625 \\ \hline B(200, 720) & 2(200) + 4,5(720) = 400 + 3.240 & 3.640 \\ \hline \mathbf{C(500, 600)} & 2(500) + 4,5(600) = 1.000 + 2.700 & \mathbf{3.700} \\ \hline D(1.600, 50) & 2(1.600) + 4,5(50) = 3.200 + 225 & 3.425 \\ \hline \end{array}$$ El beneficio máximo se obtiene en el punto $C(500, 600)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Debe producir 500 tarrinas pequeñas y 600 tarrinas grandes. El beneficio máximo es de 3.700€.}}$$ 💡 **Tip:** El Teorema Fundamental de la Programación Lineal garantiza que el óptimo (máximo o mínimo) se encuentra siempre en uno de los vértices de la región factible (o en un segmento que los une).