Probabilidad total y Teorema de Bayes con urnas

**a) Se extrae una bola de una urna elegida al azar. Haz un diagrama con las probabilidades de los posibles resultados.** Primero definimos los sucesos principales para organizar la información: - $U_1, U_2, U_3$: Elegir la urna 1, 2 o 3, respectivamente. - $B$: Extraer una bola blanca. - $N$: Extraer una bola negra. Como las urnas son idénticas y se eligen al azar, la probabilidad de elegir cualquier urna es la misma: $$P(U_1) = P(U_2) = P(U_3) = \frac{1}{3}$$ Analizamos la composición de cada urna para obtener las probabilidades condicionadas: - **Urna 1:** 6 blancas + 4 negras = 10 bolas. $P(B|U_1) = \frac{6}{10}$, $P(N|U_1) = \frac{4}{10}$. - **Urna 2:** 5 blancas + 2 negras = 7 bolas. $P(B|U_2) = \frac{5}{7}$, $P(N|U_2) = \frac{2}{7}$. - **Urna 3:** 4 blancas + 7 negras = 11 bolas. $P(B|U_3) = \frac{4}{11}$, $P(N|U_3) = \frac{7}{11}$. Representamos esto en un diagrama de árbol:

**b) Calcula la probabilidad de extraer una bola negra de una urna elegida al azar.** Utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. La probabilidad de extraer una bola negra $P(N)$ es la suma de las probabilidades de extraerla de cada urna específica: $$P(N) = P(U_1) \cdot P(N|U_1) + P(U_2) \cdot P(N|U_2) + P(U_3) \cdot P(N|U_3)$$ Sustituimos los valores obtenidos en el diagrama: $$P(N) = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{10} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{7} + \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{11}$$ Operamos con las fracciones: $$P(N) = \frac{4}{30} + \frac{2}{21} + \frac{7}{33} = \frac{2}{15} + \frac{2}{21} + \frac{7}{33}$$ Para sumar, buscamos el mínimo común múltiplo de 15, 21 y 33: - $15 = 3 \cdot 5$ - $21 = 3 \cdot 7$ - $33 = 3 \cdot 11$ - $mcm(15, 21, 33) = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 1155$ $$P(N) = \frac{2 \cdot 77}{1155} + \frac{2 \cdot 55}{1155} + \frac{7 \cdot 35}{1155} = \frac{154 + 110 + 245}{1155} = \frac{509}{1155}$$ 💡 **Tip:** Si prefieres trabajar con decimales (aunque en selectividad se recomienda la fracción), el resultado es aproximadamente $0.4407$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(N) = \frac{509}{1155} \approx 0.4407}$$

**c) Se ha hecho una extracción de una bola al azar y ha resultado ser blanca. Calcula la probabilidad de que haya sido extraída de la primera urna.** Nos piden calcular $P(U_1|B)$. Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(U_1|B) = \frac{P(U_1 \cap B)}{P(B)} = \frac{P(U_1) \cdot P(B|U_1)}{P(B)}$$ Primero necesitamos $P(B)$, que es el suceso contrario a $P(N)$: $$P(B) = 1 - P(N) = 1 - \frac{509}{1155} = \frac{1155 - 509}{1155} = \frac{646}{1155}$$ Calculamos la probabilidad de la intersección (haber elegido la Urna 1 y que sea blanca): $$P(U_1 \cap B) = P(U_1) \cdot P(B|U_1) = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{10} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$$ Ahora sustituimos en la fórmula de Bayes: $$P(U_1|B) = \frac{1/5}{646/1155} = \frac{1155}{5 \cdot 646} = \frac{1155}{3230}$$ Simplificamos dividiendo entre 5: $$P(U_1|B) = \frac{231}{646} \approx 0.3576$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se utiliza siempre que nos piden una probabilidad "a posteriori", es decir, cuando ya conocemos el resultado final (la bola es blanca) y queremos saber la causa (proviene de la urna 1). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(U_1|B) = \frac{231}{646} \approx 0.3576}$$