Distribución normal de las horas de caminata

**a) Se elige una persona al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que en una semana dedique a caminar más de 6 horas?** Primero, definimos la variable aleatoria que describe el problema: $X$: "Número de horas semanales que camina una persona adulta en Canarias". Según el enunciado, la variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(5.25, 1.25)$$ Nos piden calcular la probabilidad de que una persona camine más de 6 horas, es decir, $P(X \gt 6)$. 💡 **Tip:** Para trabajar con cualquier distribución normal $N(\mu, \sigma)$, debemos transformarla en una normal estándar $N(0, 1)$ mediante el proceso de **tipificación** usando la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$.

Tipificamos el valor $X = 6$ para obtener su equivalente en la distribución $Z$: $$Z = \frac{6 - 5.25}{1.25} = \frac{0.75}{1.25} = 0.6$$ Ahora la probabilidad se transforma en: $$P(X \gt 6) = P(Z \gt 0.6)$$ Como las tablas de la normal estándar nos dan la probabilidad acumulada hacia la izquierda, aplicamos la propiedad del suceso complementario: $$P(Z \gt 0.6) = 1 - P(Z \le 0.6)$$ Buscamos en la tabla $N(0, 1)$ el valor para $0.6$: $$P(Z \le 0.6) = 0.7257$$ Sustituimos: $$P(X \gt 6) = 1 - 0.7257 = 0.2743$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 6) = 0.2743}$$

**b) Calcula la probabilidad de que el número medio de horas semanales dedicadas a caminar por una muestra de 64 personas sea inferior a 5 horas.** Cuando trabajamos con el número medio de una muestra de tamaño $n$, la variable ya no es $X$, sino $\bar{X}$ (media muestral). Sabemos que si la población original es normal $N(\mu, \sigma)$, la media de las muestras de tamaño $n$ sigue una distribución: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ En este caso: - $\mu = 5.25$ - $\sigma = 1.25$ - $n = 64$ Calculamos la nueva desviación típica (error estándar): $$\sigma_{\bar{X}} = \frac{1.25}{\sqrt{64}} = \frac{1.25}{8} = 0.15625$$ Por tanto, $\bar{X} \sim N(5.25, 0.15625)$. 💡 **Tip:** El Teorema del Límite Central nos asegura que para muestras grandes ($n \ge 30$), la media muestral se aproxima a una normal, incluso si la población de origen no lo fuera.

Queremos hallar $P(\bar{X} \lt 5)$. Tipificamos con los parámetros de la media muestral: $$Z = \frac{5 - 5.25}{0.15625} = \frac{-0.25}{0.15625} = -1.6$$ La probabilidad es: $$P(\bar{X} \lt 5) = P(Z \lt -1.6)$$ Por simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \lt -1.6) = P(Z \gt 1.6)$$ Aplicamos el complementario: $$P(Z \gt 1.6) = 1 - P(Z \le 1.6)$$ Buscamos en la tabla el valor de $1.6$: $$P(Z \le 1.6) = 0.9452$$ Calculamos el resultado final: $$P(\bar{X} \lt 5) = 1 - 0.9452 = 0.0548$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \lt 5) = 0.0548}$$

**c) En una muestra de 1000 personas, ¿cuál es el número esperado de personas que caminan al menos 5,5 horas a la semana?** Primero, calculamos la probabilidad de que **una** persona camine al menos 5,5 horas ($P(X \ge 5.5)$). Tipificamos de nuevo para $X$ (población individual): $$Z = \frac{5.5 - 5.25}{1.25} = \frac{0.25}{1.25} = 0.2$$ Calculamos la probabilidad: $$P(X \ge 5.5) = P(Z \ge 0.2) = 1 - P(Z \le 0.2)$$ Buscamos en la tabla el valor de $0.2$: $$P(Z \le 0.2) = 0.5793$$ Luego: $$p = P(X \ge 5.5) = 1 - 0.5793 = 0.4207$$

En una muestra de $n = 1000$ personas, el número de personas que cumplen la condición sigue una distribución Binomial $B(n, p)$. El **número esperado** (o esperanza) en una distribución binomial se calcula como: $$E = n \cdot p$$ Sustituimos los valores conocidos: $$E = 1000 \cdot 0.4207 = 420.7$$ Como estamos hablando de personas, podemos decir que se esperan aproximadamente **421 personas** (redondeando al entero más cercano). 💡 **Tip:** El "número esperado" es otra forma de llamar a la media de la distribución de frecuencias de los éxitos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{E = 420.7 \text{ personas}}$$