Inferencia estadística: Media muestral, desviación típica e intervalos de confianza

**a) ¿Cuál fue el número medio muestral de fotocopias?** En un intervalo de confianza para la media de una población normal, el intervalo es simétrico respecto a la media muestral $\bar{x}$. Esto significa que la media muestral se encuentra exactamente en el punto medio del intervalo. Dado el intervalo $[17,9, 24,1]$, calculamos la media como el promedio de los extremos: $$\bar{x} = \frac{17,9 + 24,1}{2}$$ $$\bar{x} = \frac{42}{2} = 21$$ Como los datos están expresados en miles, la media es de $21$ mil fotocopias. 💡 **Tip:** El intervalo de confianza siempre tiene la forma $[\bar{x} - E, \bar{x} + E]$, por lo que $\bar{x}$ es siempre el centro del intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\bar{x} = 21 \text{ (en miles de fotocopias)}}$$

**b) ¿Cuál fue la desviación típica?** Para hallar la desviación típica $\sigma$, primero debemos identificar el error máximo admisible $E$ y el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al nivel de confianza del $95\%$. 1. **Cálculo del error ($E$):** El error es la distancia desde la media hasta cualquiera de los extremos: $$E = 24,1 - 21 = 3,1$$ 2. **Cálculo del valor crítico ($z_{\alpha/2}$):** Para un nivel de confianza del $95\%$ ($1 - \alpha = 0,95$): $$\alpha = 1 - 0,95 = 0,05 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,025$$ Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $p(z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,025 = 0,975$. Consultando la tabla de la normal $N(0,1)$, encontramos: $$z_{\alpha/2} = 1,96$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son: $90\% \to 1,645$; $95\% \to 1,96$; $99\% \to 2,575$.

Utilizamos la fórmula del error para el intervalo de confianza de la media: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sabemos que $E = 3,1$, $z_{\alpha/2} = 1,96$ y el tamaño de la muestra es $n = 16$. Sustituimos y despejamos $\sigma$: $$3,1 = 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{16}}$$ $$3,1 = 1,96 \cdot \frac{\sigma}{4}$$ Multiplicamos por 4 en ambos lados: $$12,4 = 1,96 \cdot \sigma$$ $$\sigma = \frac{12,4}{1,96} \approx 6,3265$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\sigma \approx 6,33 \text{ (en miles de fotocopias)}}$$

**c) Determinar un intervalo de confianza al 90% para el número medio de fotocopias (en miles).** Ahora calculamos el nuevo intervalo con un nivel de confianza del $90\%$ ($1 - \alpha = 0,90$): 1. **Nuevo valor crítico ($z_{\alpha/2}$):** $$\alpha = 0,10 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,05$$ Buscamos $z_{\alpha/2}$ tal que $p(z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,05 = 0,95$. En las tablas, el valor $0,95$ está entre $1,64$ y $1,65$. Tomamos el valor medio: $$z_{\alpha/2} = 1,645$$ 2. **Cálculo del nuevo error ($E'$):** Usamos la $\sigma$ calculada anteriormente: $$E' = 1,645 \cdot \frac{6,3265}{\sqrt{16}} = 1,645 \cdot \frac{6,3265}{4}$$ $$E' = 1,645 \cdot 1,5816 = 2,6017$$

El nuevo intervalo se construye sumando y restando el nuevo error a la media muestral $\bar{x} = 21$: $$I = [\bar{x} - E', \bar{x} + E']$$ $$I = [21 - 2,6017, 21 + 2,6017]$$ $$I = [18,3983, 23,6017]$$ Redondeando a dos decimales, obtenemos el intervalo final. 💡 **Tip:** Observa que al disminuir el nivel de confianza (del $95\%$ al $90\%$), el valor crítico disminuye y, por tanto, el intervalo se vuelve más estrecho (más preciso pero menos seguro). ✅ **Resultado:** $$\boxed{I_{90\%} = [18,40, 23,60]}$$