Proporción de médicos con ansiedad: Intervalos de confianza y tamaño muestral

**a) ¿Cuál es la proporción de médicos de la muestra que han sufrido episodios de ansiedad el último año? Calcular un intervalo de confianza al 94% para dicha proporción en la población de médicos de las islas.** Primero, identificamos los datos de la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 350$ - Médicos con ansiedad: $x = 84$ La proporción muestral $\hat{p}$ se calcula como: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{84}{350} = 0,24$$ Por tanto, la proporción complementaria es $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0,24 = 0,76$. Para el intervalo de confianza al $94\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0,94 \implies \alpha = 0,06$ 2. $\alpha/2 = 0,03$ 3. Buscamos en la tabla de la normal $N(0, 1)$ el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que $p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,03 = 0,97$. Mirando en la tabla, el valor más cercano a $0,9700$ es para $z = 1,88$. 💡 **Tip:** Recuerda que para proporciones, si $n$ es suficientemente grande, la distribución de la proporción muestral se aproxima a una Normal $N\left(p, \sqrt{\frac{pq}{n}}\right)$. $$\boxed{\hat{p} = 0,24; \quad z_{\alpha/2} = 1,88}$$

La fórmula del intervalo de confianza para una proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 1,88 \cdot \sqrt{\frac{0,24 \cdot 0,76}{350}}$$ $$E = 1,88 \cdot \sqrt{\frac{0,1824}{350}} = 1,88 \cdot \sqrt{0,000521} \approx 1,88 \cdot 0,02283 \approx 0,0429$$ Ahora construimos el intervalo: $$I.C. = (0,24 - 0,0429, \, 0,24 + 0,0429)$$ $$I.C. = (0,1971, \, 0,2829)$$ ✅ **Resultado (Proporción e Intervalo):** $$\boxed{\text{Proporción: } 0,24; \quad I.C. = [0,1971, 0,2829]}$$

**b) Utilizando la proporción obtenida en el apartado anterior como estimador de la proporción de médicos con episodios de ansiedad, ¿de qué tamaño debe ser la muestra de médicos si se desea construir el intervalo anterior con un error máximo de 0,02?** Queremos que el error sea $E = 0,02$, manteniendo el nivel de confianza del $94\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,88$) y la proporción $\hat{p} = 0,24$. La fórmula del error es $E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$. Despejamos $n$: $$E^2 = z_{\alpha/2}^2 \cdot \frac{\hat{p}\hat{q}}{n} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{1,88^2 \cdot 0,24 \cdot 0,76}{0,02^2}$$ $$n = \frac{3,5344 \cdot 0,1824}{0,0004} = \frac{0,64467456}{0,0004} = 1611,6864$$ 💡 **Tip:** En los problemas de tamaño muestral, siempre debemos redondear el resultado al siguiente número entero superior para garantizar que el error no supere el límite establecido. ✅ **Resultado (Tamaño de muestra):** $$\boxed{n = 1612 \text{ médicos}}$$

**c) ¿Cuál ha sido el nivel de confianza empleado si, con los mismos datos, el intervalo de confianza obtenido es $[0,1905, 0,2895]$?** En un intervalo de confianza para la proporción, el centro del intervalo es $\hat{p}$ y el radio es el error $E$. Podemos obtener el error restando el extremo superior menos la media (proporción muestral): $$E = 0,2895 - 0,24 = 0,0495$$ Sabemos que $E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$. Despejamos $z_{\alpha/2}$: $$0,0495 = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{0,24 \cdot 0,76}{350}}$$ $$0,0495 = z_{\alpha/2} \cdot 0,02283$$ $$z_{\alpha/2} = \frac{0,0495}{0,02283} \approx 2,168 \approx 2,17$$ Ahora buscamos en la tabla de la normal el área correspondiente a $z = 2,17$: $$p(Z \le 2,17) = 0,9850$$ Este valor corresponde a $1 - \alpha/2$. Entonces: $$1 - \frac{\alpha}{2} = 0,9850 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,015 \implies \alpha = 0,03$$ El nivel de confianza es $1 - \alpha$: $$Nivel = 1 - 0,03 = 0,97$$ ✅ **Resultado (Nivel de confianza):** $$\boxed{97\%}$$