COVID-19 en Canarias: Estudio de Casos Activos

**a) Representar gráficamente esta función. ¿Es continua?** Para comprobar si la función $C(t)$ es continua, debemos verificar que no existan saltos en los puntos de cambio de rama, es decir, en $t=6,5$ y $t=8,5$. **1. Continuidad en $t=6,5$:** - $C(6,5) = -15(6,5)^2 + 150(6,5) - 315 = -633,75 + 975 - 315 = 26,25$ - $\lim_{t \to 6,5^-} C(t) = 26,25$ - $\lim_{t \to 6,5^+} C(t) = \frac{53}{8}(6,5) - \frac{269}{16} = \frac{344,5}{8} - \frac{269}{16} = \frac{689}{16} - \frac{269}{16} = \frac{420}{16} = 26,25$ Como el valor de la función coincide con los límites laterales, es continua en $t=6,5$. **2. Continuidad en $t=8,5$:** - $C(8,5) = \frac{53}{8}(8,5) - \frac{269}{16} = 39,5$ - $\lim_{t \to 8,5^-} C(t) = 39,5$ - $\lim_{t \to 8,5^+} C(t) = -18(8,5)^2 + 360(8,5) - 1720 = -1300,5 + 3060 - 1720 = 39,5$ La función también es continua en $t=8,5$. Puesto que cada rama es polinómica (continua en su dominio), concluimos: 💡 **Tip:** Una función a trozos es continua si los valores de las ramas coinciden en los puntos de "unión" y cada rama es continua por separado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es continua en todo su dominio } [3, 12]}$$ (Ver gráfica en el interactivo)

A continuación se muestra la representación gráfica de la función $C(t)$ en el intervalo $[3, 12]$. Se puede observar la continuidad y los dos picos de la curva.

**b) Describir la variación de la curva de casos activos (cuando crece y cuando decrece) ¿Cuándo se produjeron los picos del número de casos activos de COVID en estas personas? ¿Cuántos casos activos había en esos momentos?** Calculamos la derivada $C'(t)$ en cada tramo para estudiar el signo y hallar los extremos: $$C'(t) = \begin{cases} -30t + 150 & 3 \lt t \lt 6,5 \\ \frac{53}{8} & 6,5 \lt t \lt 8,5 \\ -36t + 360 & 8,5 \lt t \lt 12 \end{cases}$$ **Tramo 1:** $-30t + 150 = 0 \implies t = 5$. **Tramo 2:** $\frac{53}{8} \approx 6,625 \gt 0$. Siempre crece en este tramo. **Tramo 3:** $-36t + 360 = 0 \implies t = 10$. **Tabla de signos de $C'(t)$:** $$\begin{array}{c|ccccc} t & (3,5) & 5 & (5,6,5) & (6,5,8,5) & (8,5,10) & 10 & (10,12) \\ \hline C'(t) & + & 0 & - & + & + & 0 & - \\ \hline C(t) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nearrow & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Los "picos" o máximos relativos ocurren donde la derivada cambia de signo de positivo a negativo. ✅ **Resultado (Variación):** $$\boxed{\text{Crece en: } (3,5) \cup (6,5, 10) \quad \text{Decrece en: } (5, 6,5) \cup (10, 12)}$$

Identificamos los valores máximos (picos) evaluando la función en $t=5$ y $t=10$: 1. **Primer pico ($t=5$):** Corresponde al 1 de mayo (el mes 5). $$C(5) = -15(5)^2 + 150(5) - 315 = -375 + 750 - 315 = 60 \text{ casos.}$$ 2. **Segundo pico ($t=10$):** Corresponde al 1 de octubre (el mes 10). $$C(10) = -18(10)^2 + 360(10) - 1720 = -1800 + 3600 - 1720 = 80 \text{ casos.}$$ ✅ **Resultado (Picos):** $$\boxed{\text{Pico 1: Mayo, 60 casos. Pico 2: Octubre, 80 casos.}}$$

**c) ¿En qué momento se alcanzaron por primera vez los 62 casos activos por cada 100.000 personas de este grupo de edad?** Debemos resolver la ecuación $C(t) = 62$ analizando cada rama por orden cronológico. **Rama 1 ($3 \le t \le 6,5$):** $$-15t^2 + 150t - 315 = 62 \implies -15t^2 + 150t - 377 = 0$$ Calculamos el discriminante: $\Delta = 150^2 - 4(-15)(-377) = 22500 - 22620 = -120$. Al ser el discriminante negativo, **no hay solución real** en esta rama (el máximo era 60, por lo que nunca llega a 62). **Rama 2 ($6,5 \lt t \le 8,5$):** La función es lineal y creciente. El valor máximo es $C(8,5) = 39,5$. Como $39,5 \lt 62$, **no se alcanza** en esta rama. **Rama 3 ($8,5 \lt t \le 12$):** $$-18t^2 + 360t - 1720 = 62 \implies -18t^2 + 360t - 1782 = 0$$ Dividimos toda la ecuación por $-18$: $$t^2 - 20t + 99 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2 - 4(1)(99)}}{2(1)} = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 396}}{2} = \frac{20 \pm 2}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: $t_1 = 11$ y $t_2 = 9$. El momento en que ocurre **por primera vez** es $t = 9$, que corresponde al inicio del mes de septiembre. 💡 **Tip:** Aunque la ecuación dé dos soluciones, el problema pide la "primera vez", por lo que elegimos el valor menor de $t$ que esté dentro del dominio de la rama. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 9 \text{ (septiembre)}}$$