Optimización de beneficios en una finca. Integrales y áreas

**a) Calcular la superficie de cada parcela.** Para calcular las superficies, primero debemos identificar los puntos clave de la función $f(x) = -0,02x^2 + 1,6x + 130$ y cómo se relacionan con las rectas divisorias $x = 80$ e $y = 130$. 1. **Corte con el eje $Y$ ($x=0$):** $$f(0) = -0,02(0)^2 + 1,6(0) + 130 = 130.$$ La parábola corta al eje de ordenadas en el punto $(0, 130)$. 2. **Intersección con la recta $y=130$:** $$-0,02x^2 + 1,6x + 130 = 130 \implies -0,02x^2 + 1,6x = 0.$$ Factorizando: $$x(-0,02x + 1,6) = 0.$$ Esto nos da dos puntos: $x = 0$ y $x = \frac{1,6}{0,02} = 80$. 3. **Corte con el eje $X$ ($y=0$):** $$-0,02x^2 + 1,6x + 130 = 0.$$ Multiplicamos por $-50$ para simplificar: $x^2 - 80x - 6500 = 0$. $$x = \frac{80 \pm \sqrt{(-80)^2 - 4(1)(-6500)}}{2} = \frac{80 \pm \sqrt{6400 + 26000}}{2} = \frac{80 \pm \sqrt{32400}}{2} = \frac{80 \pm 180}{2}.$$ Obtenemos $x = 130$ (el valor negativo no tiene sentido físico en este contexto). 💡 **Tip:** Conocer los puntos de corte nos permite visualizar que el terreno se extiende desde $x=0$ hasta $x=130$.

La **parcela A** es la región limitada por los ejes de coordenadas y las rectas $x = 80$ e $y = 130$. Según la figura, se trata de un rectángulo. - Base: desde $x=0$ hasta $x=80$ (longitud $80 \, m$). - Altura: desde $y=0$ hasta $y=130$ (longitud $130 \, m$). $$S_A = 80 \cdot 130 = 10400 \, m^2.$$ ✅ **Resultado Parcela A:** $$\boxed{S_A = 10400 \, m^2}$$

La **parcela B** es la región situada por encima de la recta $y = 130$ y por debajo de la parábola $f(x)$, entre $x = 0$ y $x = 80$. Usamos la integral definida de la diferencia entre la función y la recta: $$S_B = \int_{0}^{80} (f(x) - 130) \, dx = \int_{0}^{80} (-0,02x^2 + 1,6x + 130 - 130) \, dx = \int_{0}^{80} (-0,02x^2 + 1,6x) \, dx.$$ Calculamos la primitiva: $$\left[ -0,02 \frac{x^3}{3} + 1,6 \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{80} = \left[ -\frac{0,02}{3}x^3 + 0,8x^2 \right]_{0}^{80}.$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$S_B = \left( -\frac{0,02}{3}(80)^3 + 0,8(80)^2 \right) - 0 = -\frac{10240}{3} + 5120 = -3413,33 + 5120 = 1706,67 \, m^2.$$ ✅ **Resultado Parcela B:** $$\boxed{S_B \approx 1706,67 \, m^2}$$

La **parcela C** es la región limitada por la parábola, el eje $X$ y la recta vertical $x = 80$, desde $x = 80$ hasta el punto de corte con el eje $X$ ($x = 130$). $$S_C = \int_{80}^{130} f(x) \, dx = \int_{80}^{130} (-0,02x^2 + 1,6x + 130) \, dx.$$ Calculamos la primitiva: $$\left[ -\frac{0,02}{3}x^3 + 0,8x^2 + 130x \right]_{80}^{130}.$$ Aplicamos Barrow: $$F(130) = -\frac{0,02}{3}(130)^3 + 0,8(130)^2 + 130(130) = -\frac{43940}{3} + 13520 + 16900 = 15773,33.$$ $$F(80) = -\frac{0,02}{3}(80)^3 + 0,8(80)^2 + 130(80) = -\frac{10240}{3} + 5120 + 10400 = 12106,67.$$ $$S_C = 15773,33 - 12106,67 = 3666,66 \, m^2.$$ 💡 **Tip:** También podías calcular el área total bajo la curva de $0$ a $130$ y restarle $S_A$ y $S_B$. ✅ **Resultado Parcela C:** $$\boxed{S_C \approx 3666,67 \, m^2}$$

**b) ¿Qué deberá plantar el agricultor en cada parcela si quiere maximizar su beneficio? ¿Cuál será el beneficio total anual?** Para maximizar el beneficio, dado que los costes son fijos ($22134 €$), debemos maximizar los ingresos totales. La estrategia óptima consiste en asignar el cultivo que produce más ingresos por metro cuadrado a la parcela con mayor superficie, y así sucesivamente. **Ranking de superficies:** 1. Parcela A: $10400 \, m^2$ 2. Parcela C: $3666,67 \, m^2$ 3. Parcela B: $1706,67 \, m^2$ **Ranking de ingresos por cultivo:** 1. Trigo: $4 €/m^2$ 2. Millo: $3,5 €/m^2$ 3. Cebada: $2 €/m^2$ **Asignación óptima:** - **Parcela A (la más grande) $\to$ Trigo (el más rentable).** - **Parcela C (la intermedia) $\to$ Millo (el intermedio).** - **Parcela B (la más pequeña) $\to$ Cebada (el menos rentable).**

Calculamos el ingreso total sumando lo generado en cada parcela: - Ingreso A (Trigo): $10400 \cdot 4 = 41600 €$. - Ingreso C (Millo): $3666,67 \cdot 3,5 = 12833,35 €$. - Ingreso B (Cebada): $1706,67 \cdot 2 = 3413,34 €$. **Ingreso Total:** $$I_{total} = 41600 + 12833,35 + 3413,34 = 57846,69 €.$$ **Beneficio Total (Ingresos - Costes):** $$B = 57846,69 - 22134 = 35712,69 €.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Plantará Trigo en A, Millo en C y Cebada en B. Beneficio: } 35712,69 €}$$