Optimización de ventas de lotes de frutales

**a) Formular el correspondiente problema de programación lineal.** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de lotes de la **oferta A** a vender. - $y$: número de lotes de la **oferta B** a vender. El objetivo es maximizar la recaudación total. Según los precios de cada oferta ($40€$ para A y $45€$ para B), la función objetivo será: $$f(x, y) = 40x + 45y$$ 💡 **Tip:** Identifica siempre las variables de decisión basándote en la pregunta final del problema (¿cuántos lotes de cada tipo?).

A continuación, establecemos las limitaciones (restricciones) basadas en el stock disponible y las condiciones de venta: 1. **Aguacateros:** La oferta A usa 1 y la B usa 2. El máximo disponible es 350. $$x + 2y \le 350$$ 2. **Mangos:** La oferta A usa 2 y la B usa 1. El máximo disponible es 400. $$2x + y \le 400$$ 3. **Mínimo oferta A:** Se deben vender al menos 80 lotes. $$x \ge 80$$ 4. **Mínimo oferta B:** Se deben vender al menos 90 lotes. $$y \ge 90$$ Además, aunque las restricciones mínimas ya lo implican, recordamos que las variables deben ser no negativas ($x \ge 0, y \ge 0$). El problema formulado es: $$\boxed{\begin{aligned} \text{Maximizar } & Z = 40x + 45y \\ \text{sujeto a: } & x + 2y \le 350 \\ & 2x + y \le 400 \\ & x \ge 80 \\ & y \ge 90 \end{aligned}}$$

**b) Representar la región factible.** Para representar la región, dibujamos las rectas correspondientes a las desigualdades y determinamos el semiplano solución para cada una: - $r_1: x + 2y = 350 \implies$ Pasa por $(350, 0)$ y $(0, 175)$. - $r_2: 2x + y = 400 \implies$ Pasa por $(200, 0)$ y $(0, 400)$. - $r_3: x = 80 \implies$ Recta vertical. - $r_4: y = 90 \implies$ Recta horizontal. La intersección de todos los semiplanos define el polígono de soluciones factibles.

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se cortan: - **Vértice A:** Intersección de $x = 80$ e $y = 90$. $$A(80, 90)$$ - **Vértice B:** Intersección de $x = 80$ y $x + 2y = 350$. $80 + 2y = 350 \implies 2y = 270 \implies y = 135$. **$B(80, 135)$** - **Vértice C:** Intersección de $x + 2y = 350$ y $2x + y = 400$. Multiplicamos la segunda por $-2$: $-4x - 2y = -800$. Sumamos a la primera: $(x - 4x) = 350 - 800 \implies -3x = -450 \implies x = 150$. Sustituimos: $150 + 2y = 350 \implies 2y = 200 \implies y = 100$. **$C(150, 100)$** - **Vértice D:** Intersección de $y = 90$ y $2x + y = 400$. $2x + 90 = 400 \implies 2x = 310 \implies x = 155$. **$D(155, 90)$** 💡 **Tip:** El Teorema Fundamental de la Programación Lineal afirma que el óptimo siempre se encuentra en uno de los vértices o en un segmento de la frontera.

**c) Para maximizar la recaudación, ¿cuántos lotes se deben vender de cada tipo?** Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 40x + 45y$ en cada vértice: - $f(80, 90) = 40(80) + 45(90) = 3200 + 4050 = 7250€$ - $f(80, 135) = 40(80) + 45(135) = 3200 + 6075 = 9275€$ - $f(150, 100) = 40(150) + 45(100) = 6000 + 4500 = 10500€$ - $f(155, 90) = 40(155) + 45(90) = 6200 + 4050 = 10250€$ La recaudación máxima es de $10500€$ y ocurre en el punto $C(150, 100)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se deben vender 150 lotes de la oferta A y 100 lotes de la oferta B}}$$