Problema de sistemas de ecuaciones: Venta de ediciones de libros

Para resolver el problema, lo primero es definir las incógnitas que representan lo que nos preguntan: - $x$: número de ejemplares vendidos de la **primera edición**. - $y$: número de ejemplares vendidos de la **segunda edición**. - $z$: número de ejemplares vendidos de la **tercera edición**. A continuación, calculamos el precio de venta de cada edición basándonos en el precio de la tercera ($36$ €): 1. **Precio edición 3 ($P_3$):** $36$ €. 2. **Precio edición 1 ($P_1$):** Tiene un 30% de descuento. $$P_1 = 36 \cdot (1 - 0.30) = 36 \cdot 0.70 = 25.20 \text{ €}$$ 3. **Precio edición 2 ($P_2$):** Tiene un 40% de descuento. $$P_2 = 36 \cdot (1 - 0.40) = 36 \cdot 0.60 = 21.60 \text{ €}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que aplicar un descuento del $r\%$ equivale a multiplicar por $(1 - r/100)$. Por ejemplo, un 30% de descuento significa que pagas el 70% del precio original.

Traducimos el enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. **Total de ejemplares:** Se vendieron 600 ejemplares en total. $$x + y + z = 600$$ 2. **Ingresos totales:** La suma de las ventas de cada edición es 19152 €. $$25.2x + 21.6y + 36z = 19152$$ 3. **Relación entre cantidades:** El número de ejemplares de las dos primeras ediciones ($x+y$) fue la mitad de los de la última ($z$). $$x + y = \frac{z}{2} \implies 2x + 2y - z = 0$$ El sistema a resolver es: $$\begin{cases} x + y + z = 600 \\ 25.2x + 21.6y + 36z = 19152 \\ 2x + 2y - z = 0 \end{cases}$$

Observamos que podemos utilizar la relación $x + y = \frac{z}{2}$ y sustituirla directamente en la primera ecuación para hallar $z$ de forma rápida. Sustituimos $x + y$ por $\frac{z}{2}$ en la primera ecuación ($x + y + z = 600$): $$\frac{z}{2} + z = 600$$ Sumamos los términos con $z$: $$\frac{z + 2z}{2} = 600 \implies \frac{3z}{2} = 600$$ Despejamos $z$: $$3z = 1200 \implies z = \frac{1200}{3} = 400$$ Ya sabemos que se vendieron **400 libros de la tercera edición**. 💡 **Tip:** Siempre que veas una combinación de variables que se repite o una relación directa, la sustitución suele ser el camino más corto.

Ahora que sabemos que $z = 400$, sustituimos este valor en las otras ecuaciones para obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($x$ e $y$): De la relación $x + y = z/2$: $$x + y = \frac{400}{2} \implies x + y = 200 \implies y = 200 - x$$ De la ecuación de los ingresos: $$25.2x + 21.6y + 36(400) = 19152$$ $$25.2x + 21.6y + 14400 = 19152$$ $$25.2x + 21.6y = 19152 - 14400$$ $$25.2x + 21.6y = 4752$$ Sustituimos $y = 200 - x$ en esta última ecuación: $$25.2x + 21.6(200 - x) = 4752$$ $$25.2x + 4320 - 21.6x = 4752$$ Agrupamos las $x$: $$3.6x = 4752 - 4320$$ $$3.6x = 432$$ $$x = \frac{432}{3.6} = 120$$ Finalmente, calculamos $y$: $$y = 200 - 120 = 80$$

Recopilamos los resultados obtenidos para dar la respuesta final al problema: - Número de libros de la **1ª edición ($x$): 120** - Número de libros de la **2ª edición ($y$): 80** - Número de libros de la **3ª edición ($z$): 400** Podemos comprobar que suman 600 ($120+80+400=600$) y que las dos primeras son la mitad de la tercera ($120+80=200$, que es $400/2$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{1ª ed: 120 libros, 2ª ed: 80 libros, 3ª ed: 400 libros}}$$