Invertibilidad de matrices y resolución de sistemas matriciales

**a) (1 punto) Determine los valores del parámetro real $a$ para que $A$ tenga inversa.** Para que una matriz cuadrada $A$ tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} -a & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ a & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(-a) \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot a + 1 \cdot 0 \cdot 1] - [a \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-a) + 1 \cdot 0 \cdot 1]$$ Operamos paso a paso: $$|A| = (a + a + 0) - (-a - a + 0) = 2a - (-2a) = 2a + 2a = 4a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz $A$ es regular (tiene inversa) si y solo si su determinante es distinto de cero. Si el determinante es cero, la matriz se llama singular.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$4a = 0 \implies a = 0$$ Por lo tanto: - Si $a = 0$, el determinante es cero y la matriz **no tiene inversa**. - Si $a \neq 0$, el determinante es distinto de cero y la matriz **tiene inversa**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \text{ tiene inversa para cualquier valor de } a \in \mathbb{R}, a \neq 0}$$

**b) (1 punto) Calcule, para $a = 1$, la solución del sistema $(A - B)X = Y$.** Primero, sustituimos $a = 1$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos la matriz $C = A - B$ restando elemento a elemento: $$A - B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ $$A - B = \begin{pmatrix} -1 - 1 & 1 - 1 & 1 - 1 \\ 0 - (-1) & -1 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 1 & 1 - 1 & 1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La resta de matrices se realiza restando los elementos que ocupan la misma posición: $(A-B)_{ij} = a_{ij} - b_{ij}$.

Planteamos el sistema matricial $(A-B)X = Y$: $$\begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$$ Escribimos el sistema de ecuaciones lineales equivalente: 1. $-2x = 1$ 2. $x - 2y + z = 0$ 3. $-z = 2$ Resolvemos de forma directa: - De la ecuación (1): $x = -\frac{1}{2}$ - De la ecuación (3): $z = -2$ Sustituimos $x$ y $z$ en la ecuación (2) para hallar $y$: $$-\frac{1}{2} - 2y + (-2) = 0$$ $$-2y = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$$ $$y = -\frac{5}{4}$$ 💡 **Tip:** Al ser una matriz casi diagonal, es mucho más rápido resolver el sistema por sustitución directa que por la regla de Cramer o el método de la inversa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = -\frac{1}{2}, \quad y = -\frac{5}{4}, \quad z = -2}$$