Programación lineal: Región factible y optimización

**a) Represente gráficamente la región $S$ y calcule las coordenadas de sus vértices.** Para representar la región $S$, primero convertimos las inecuaciones en igualdades para obtener las rectas que delimitan la región: - $r_1: 7y - 8x = 3400$ - $r_2: 3x - 8y = 2000$ - $r_3: 11x + 14y = 9500$ - $r_4: x = 1200$ - $r_5: y = 1000$ Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por la intersección de estas rectas: 1. **Vértice $A$** ($r_1 \cap r_5$): $y = 1000 \implies 7(1000) - 8x = 3400 \implies 7000 - 3400 = 8x \implies 3600 = 8x \implies x = 450$. $\mathbf{A(450, 1000)}$ 2. **Vértice $B$** ($r_4 \cap r_5$): $x = 1200, y = 1000$. $\mathbf{B(1200, 1000)}$ 3. **Vértice $C$** ($r_2 \cap r_4$): $x = 1200 \implies 3(1200) - 8y = 2000 \implies 3600 - 2000 = 8y \implies 1600 = 8y \implies y = 200$. $\mathbf{C(1200, 200)}$ 4. **Vértice $D$** ($r_2 \cap r_3$): Sistema: $\begin{cases} 3x - 8y = 2000 \\ 11x + 14y = 9500 \end{cases}$ Multiplicamos la primera por 7 y la segunda por 4: $\begin{cases} 21x - 56y = 14000 \\ 44x + 56y = 38000 \end{cases} \implies 65x = 52000 \implies x = 800$. Sustituyendo $x$: $3(800) - 8y = 2000 \implies 2400 - 2000 = 8y \implies 400 = 8y \implies y = 50$. $\mathbf{D(800, 50)}$ 5. **Vértice $E$** ($r_1 \cap r_3$): Sistema: $\begin{cases} -8x + 7y = 3400 \\ 11x + 14y = 9500 \end{cases}$ Multiplicamos la primera por -2: $\begin{cases} 16x - 14y = -6800 \\ 11x + 14y = 9500 \end{cases} \implies 27x = 2700 \implies x = 100$. Sustituyendo $x$: $7y - 8(100) = 3400 \implies 7y = 4200 \implies y = 600$. $\mathbf{E(100, 600)}$ 💡 **Tip:** Para encontrar los vértices, identifica qué dos rectas se cruzan en cada esquina de la región sombreada y resuelve el sistema de ecuaciones lineal correspondiente.

Utilizando los puntos de corte con los ejes y los vértices calculados, representamos la región $S$. Comprobamos un punto interior, por ejemplo $(500, 500)$, para verificar que cumple todas las inecuaciones. - $7(500) - 8(500) = -500 \leq 3400$ (Sí) - $3(500) - 8(500) = -2500 \leq 2000$ (Sí) - $11(500) + 14(500) = 12500 \geq 9500$ (Sí) - $500 \leq 1200$ (Sí) - $500 \leq 1000$ (Sí) La región es el polígono cerrado con vértices en $A, B, C, D$ y $E$. ✅ **Resultado (Vértices):** $$\boxed{A(450, 1000), B(1200, 1000), C(1200, 200), D(800, 50), E(100, 600)}$$

**b) Obtenga el valor mínimo de la función $f(x, y) = 2x + y$ en $S$, indicando el punto de la región en el cual se alcanza.** Según el teorema fundamental de la programación lineal, el valor mínimo de una función lineal sobre una región poligonal convexa se alcanza en uno de sus vértices. Evaluamos $f(x, y) = 2x + y$ en cada vértice calculado en el apartado anterior: - $f(A) = f(450, 1000) = 2(450) + 1000 = 900 + 1000 = 1900$ - $f(B) = f(1200, 1000) = 2(1200) + 1000 = 2400 + 1000 = 3400$ - $f(C) = f(1200, 200) = 2(1200) + 200 = 2400 + 200 = 2600$ - $f(D) = f(800, 50) = 2(800) + 50 = 1600 + 50 = 1650$ - $f(E) = f(100, 600) = 2(100) + 600 = 200 + 600 = 800$ Comparando los resultados, el valor más pequeño obtenido es $800$. 💡 **Tip:** Siempre evalúa la función objetivo en TODOS los vértices de la región factible para asegurar que encuentras el extremo absoluto. ✅ **Resultado (Mínimo):** $$\boxed{\text{El valor mínimo es } 800 \text{ y se alcanza en el punto } E(100, 600)}$$