Continuidad de una función a trozos y área entre curvas

**a) (1 punto) Se define $h(x)$ de la siguiente manera: $$h(x) = \begin{cases} f(x), & \text{si } x \leq 1 \\ g(x), & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ ¿Qué valor debe darle a la constante $a \in \mathbb{R}$ para que la función $h$ sea continua en $\mathbb{R}$?** La función $h(x)$ está compuesta por dos funciones polinómicas ($f$ y $g$), que son continuas en todos sus dominios respectivos. Por lo tanto, el único punto donde la continuidad podría fallar es en el punto de salto entre ramas, $x = 1$. Para que $h(x)$ sea continua en $x = 1$, se deben cumplir las tres condiciones de continuidad: 1. Que exista $h(1)$. 2. Que exista el límite $\lim_{x \to 1} h(x)$. 3. Que $h(1) = \lim_{x \to 1} h(x)$. Esto se traduce en que los límites laterales en $x=1$ deben ser iguales: - **Límite por la izquierda ($x \le 1$):** $$\lim_{x \to 1^-} h(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 - 4x + 3) = 1^2 - 4(1) + 3 = 0.$$ Note que $h(1) = 0$. - **Límite por la derecha ($x \gt 1$):** $$\lim_{x \to 1^+} h(x) = \lim_{x \to 1^+} (-x^2 + ax + 3) = -(1)^2 + a(1) + 3 = a + 2.$$ 💡 **Tip:** Para que una función a trozos sea continua, el valor de la función al "llegar" por la izquierda debe coincidir con el valor al "llegar" por la derecha.

Igualamos ambos límites laterales para garantizar la existencia del límite y la continuidad: $$\lim_{x \to 1^-} h(x) = \lim_{x \to 1^+} h(x)$$ $$0 = a + 2$$ Despejamos $a$: $$a = -2$$ Por lo tanto, para que $h(x)$ sea continua en todo $\mathbb{R}$, el valor de $a$ debe ser $-2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -2}$$

**b) (1 punto) Para $a = 2$, halle el área de la región acotada del plano que está delimitada por las gráficas de $f$ y de $g$.** Primero, definimos las funciones con $a = 2$: $$f(x) = x^2 - 4x + 3$$ $$g(x) = -x^2 + 2x + 3$$ Para hallar el área entre dos curvas, necesitamos encontrar sus puntos de corte igualando $f(x) = g(x)$: $$x^2 - 4x + 3 = -x^2 + 2x + 3$$ Pasamos todos los términos a un lado de la ecuación: $$x^2 + x^2 - 4x - 2x + 3 - 3 = 0$$ $$2x^2 - 6x = 0$$ Factorizamos: $$2x(x - 3) = 0$$ Las soluciones son: $$x_1 = 0, \quad x_2 = 3$$ Estos valores serán nuestros límites de integración. 💡 **Tip:** Los puntos de corte nos indican dónde empieza y dónde termina la región encerrada por las dos funciones.

El área $A$ viene dada por la integral definida de la diferencia de las funciones en el intervalo $[0, 3]$: $$A = \int_{0}^{3} |g(x) - f(x)| \, dx$$ Determinamos qué función está por encima en el intervalo $(0, 3)$. Probamos con $x=1$: - $f(1) = 1^2 - 4(1) + 3 = 0$ - $g(1) = -1^2 + 2(1) + 3 = 4$ Como $g(1) \gt f(1)$, la función $g(x)$ está por encima. Configuramos la integral: $$A = \int_{0}^{3} [(-x^2 + 2x + 3) - (x^2 - 4x + 3)] \, dx$$ $$A = \int_{0}^{3} (-2x^2 + 6x) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (-2x^2 + 6x) \, dx = -\frac{2x^3}{3} + \frac{6x^2}{2} = -\frac{2x^3}{3} + 3x^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de Barrow dice que $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es la primitiva.

Aplicamos los límites de integración $0$ y $3$: $$A = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 3x^2 \right]_{0}^{3}$$ $$A = \left( -\frac{2(3)^3}{3} + 3(3)^2 \right) - \left( -\frac{2(0)^3}{3} + 3(0)^2 \right)$$ $$A = \left( -\frac{2 \cdot 27}{3} + 3 \cdot 9 \right) - 0$$ $$A = (-2 \cdot 9 + 27) = -18 + 27 = 9$$ El área de la región es $9$ unidades cuadradas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 9 \text{ u}^2}$$