Probabilidad y Estadística 2022 Madrid
Probabilidad del suceso unión y leyes de De Morgan
A.4. (2 puntos) Supongamos que el espacio muestral de cierto experimento aleatorio es la unión de los sucesos $A$ y $B$. Esto es, $E = A \cup B$. Además suponga que $P(A \cap B) = 0,2$ y $P(B) = 0,7$.
a) Calcule $P(A^c)$.
b) Calcule $P(A^c \cup B^c)$.
Nota: $A^c$ y $B^c$ son, respectivamente, los sucesos complementarios de $A$ y $B$.
Paso 1
Identificar la probabilidad del suceso unión
**a) Calcule $P(A^c)$.**
El enunciado nos indica que el espacio muestral $E$ es la unión de los sucesos $A$ y $B$, es decir, $E = A \cup B$.
Sabemos por los axiomas de la probabilidad que la probabilidad del espacio muestral (suceso seguro) es siempre $1$. Por lo tanto:
$$P(A \cup B) = P(E) = 1$$
💡 **Tip:** Recuerda que el espacio muestral $E$ contiene todos los resultados posibles, por lo que su probabilidad siempre es la unidad: $P(E) = 1$.
Paso 2
Calcular la probabilidad del suceso A
Para hallar $P(A)$, utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos:
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
Sustituimos los valores conocidos que nos da el enunciado ($P(A \cup B) = 1$, $P(B) = 0,7$ y $P(A \cap B) = 0,2$):
$$1 = P(A) + 0,7 - 0,2$$
Operamos en el miembro de la derecha:
$$1 = P(A) + 0,5$$
Despejamos $P(A)$ restando $0,5$ en ambos lados:
$$P(A) = 1 - 0,5 = 0,5$$
Paso 3
Calcular la probabilidad del complementario de A
Una vez que tenemos $P(A)$, calculamos la probabilidad de su suceso complementario $A^c$ usando la propiedad:
$$P(A^c) = 1 - P(A)$$
Sustituyendo el valor obtenido anteriormente:
$$P(A^c) = 1 - 0,5 = 0,5$$
💡 **Tip:** El suceso complementario $A^c$ ocurre cuando no ocurre $A$. Su probabilidad es el resto hasta completar la unidad.
✅ **Resultado del apartado a):**
$$\boxed{P(A^c) = 0,5}$$
Paso 4
Aplicar las Leyes de De Morgan
**b) Calcule $P(A^c \cup B^c)$.**
Para calcular la probabilidad de la unión de los complementarios, utilizamos las **Leyes de De Morgan**. Esta ley establece que la unión de los complementarios es igual al complementario de la intersección:
$$A^c \cup B^c = (A \cap B)^c$$
Por lo tanto:
$$P(A^c \cup B^c) = P((A \cap B)^c)$$
💡 **Tip:** Las Leyes de De Morgan son fundamentales:
1. $A^c \cup B^c = (A \cap B)^c$
2. $A^c \cap B^c = (A \cup B)^c$
Paso 5
Cálculo final del apartado b
Calculamos la probabilidad del complementario de la intersección utilizando la fórmula habitual:
$$P((A \cap B)^c) = 1 - P(A \cap B)$$
Sustituimos el valor de la intersección dado en el enunciado ($P(A \cap B) = 0,2$):
$$P(A^c \cup B^c) = 1 - 0,2 = 0,8$$
✅ **Resultado del apartado b):**
$$\boxed{P(A^c \cup B^c) = 0,8}$$