Estimación de proporciones e intervalos de confianza

**a) Estime la proporción de tornillos con defectos de fabricación a partir de esa muestra y dé una cota del error de estimación al nivel de confianza considerado.** En un intervalo de confianza para la proporción, la estimación puntual de la proporción muestral ($\hat{p}$) es siempre el punto medio del intervalo. Dados los extremos del intervalo $(0,2, \, 0,3)$, calculamos la media aritmética de ambos: $$\hat{p} = \frac{0,2 + 0,3}{2} = \frac{0,5}{2} = 0,25$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el intervalo de confianza tiene la forma $[\hat{p} - E, \, \hat{p} + E]$, por lo que $\hat{p}$ siempre está justo en el centro. ✅ **Resultado (proporción):** $$\boxed{\hat{p} = 0,25}$$ La proporción estimada de tornillos defectuosos es del **$25 \%$**.

La cota del error de estimación ($E$) corresponde al radio del intervalo de confianza. Podemos calcularlo restando el extremo inferior al punto medio o, de forma más directa, como la mitad de la amplitud (longitud) del intervalo. $$E = \frac{0,3 - 0,2}{2} = \frac{0,1}{2} = 0,05$$ Esto significa que la estimación de la proporción tiene un margen de error de $\pm 0,05$ (o un $5 \%$) para el nivel de confianza del $95 \%$. ✅ **Resultado (error):** $$\boxed{E = 0,05}$$

**b) Utilizando el mismo nivel de confianza, ¿cuál sería el error máximo de estimación si esa misma proporción se hubiera observado en una muestra de $700$ tornillos?** Primero, identificamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente a un nivel de confianza del $95 \%$. 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95 \implies \alpha = 0,05$. 2. Repartimos el error en las dos colas: $\alpha/2 = 0,025$. 3. Buscamos el valor en la tabla de la Normal $Z \sim N(0,1)$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,025 = 0,9750$. Consultando la tabla, observamos que para una probabilidad de $0,9750$, el valor es: $$z_{\alpha/2} = 1,96$$ 💡 **Tip:** El valor $1,96$ es el más habitual en los exámenes para el $95 \%$. Conviene memorizarlo para ganar tiempo.

Para calcular el error máximo de estimación de una proporción utilizamos la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$$ Sustituimos los datos conocidos: - Valor crítico: $z_{\alpha/2} = 1,96$ - Proporción muestral: $\hat{p} = 0,25$ - Tamaño de la muestra: $n = 700$ Operamos paso a paso: $$E = 1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,25 \cdot (1 - 0,25)}{700}} = 1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,25 \cdot 0,75}{700}}$$ $$E = 1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,1875}{700}} \approx 1,96 \cdot \sqrt{0,00026786}$$ $$E \approx 1,96 \cdot 0,016366 = 0,032077$$ Redondeando a cuatro decimales: $$E \approx 0,0321$$ ✅ **Resultado (error máximo):** $$\boxed{E \approx 0,0321}$$ Con una muestra mayor ($n=700$), el error disminuye de $0,05$ a aproximadamente **$0,0321$**.