Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Discuta la compatibilidad del sistema para los diferentes valores de $a$.** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada con los términos independientes: $$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 0 & -a \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & a & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -a & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** Discutir un sistema consiste en determinar si tiene solución única, infinitas soluciones o ninguna, dependiendo del valor del parámetro $a$, utilizando el **Teorema de Rouché-Capelli**.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ para hallar los valores críticos de $a$ que hacen que $|A| = 0$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 0 & -a \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Aplicando la **regla de Sarrus**: $$|A| = [1 \cdot 0 \cdot 1 + a \cdot (-a) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1] - [1 \cdot 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-a) \cdot 1 + a \cdot 1 \cdot 1]$$ $$|A| = [0 - a^2 + 1] - [0 - a + a] = 1 - a^2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores de interés: $$1 - a^2 = 0 \implies a^2 = 1 \implies a = \pm 1$$ 💡 **Tip:** Si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema siempre será compatible determinado.

Si $a \neq 1$ y $a \neq -1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es igual al número de incógnitas: $$\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n \text{ (incógnitas)}$$ Según el Teorema de Rouché-Capelli, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una **solución única**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a \neq \pm 1, \text{ el sistema es Compatible Determinado}}$$

Sustituimos $a = 1$ en la matriz ampliada $A^*$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ Observamos que la primera y la tercera fila son idénticas ($F_1 = F_3$), lo que indica que una ecuación es redundante. - El rango de $A$ es $\text{rg}(A) = 2$, ya que el determinante de $3 \times 3$ es $0$ y existe un menor de $2 \times 2$ no nulo: $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$. - El rango de $A^*$ también es $\text{rg}(A^*) = 2$ al ser la tercera fila combinación lineal de las otras. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, tiene **infinitas soluciones**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a = 1, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado}}$$

Sustituimos $a = -1$ en la matriz ampliada $A^*$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ - $\text{rg}(A) = 2$ porque el menor $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$. - Para calcular $\text{rg}(A^*)$, tomamos un menor de orden 3 usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la segunda fila (que tiene dos ceros): $$-1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2 - 2) = 4 \neq 0$$ Como $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) = 3$, los rangos son distintos. Por el Teorema de Rouché-Capelli, el sistema es **Incompatible (SI)**, no tiene solución. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a = -1, \text{ el sistema es Incompatible}}$$

**b) Resuelva el sistema para $a = 0$.** Si $a = 0$, el sistema original se convierte en: $$\left. \begin{array}{rcl} x + 0y + z & = & 2 \\ x - 0z & = & 0 \\ x + y + z & = & 2 \end{array} \right\} \implies \begin{cases} x + z = 2 \\ x = 0 \\ x + y + z = 2 \end{cases}$$ 1. De la segunda ecuación obtenemos directamente: **$x = 0$**. 2. Sustituimos $x = 0$ en la primera ecuación: $$0 + z = 2 \implies \mathbf{z = 2}$$ 3. Sustituimos $x = 0$ y $z = 2$ en la tercera ecuación: $$0 + y + 2 = 2 \implies y = 2 - 2 \implies \mathbf{y = 0}$$ 💡 **Tip:** Siempre conviene comprobar la solución sustituyendo en las ecuaciones originales: $0+0+2=2$ (OK), $0-0=0$ (OK), $0+0+2=2$ (OK). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 0, \; y = 0, \; z = 2}$$