Cálculo de parámetros y estudio de asíntotas

**a) Determine los valores de los parámetros $a, b \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x) = ax + \frac{b}{x}$ verifique que $f(2) = 4$ y $f'(2) = 0$.** Empezamos utilizando la primera condición: $f(2) = 4$. Esto significa que al sustituir $x = 2$ en la expresión de la función, el resultado debe ser $4$. $$f(2) = a(2) + \frac{b}{2} = 4$$ Para trabajar de forma más sencilla, podemos multiplicar toda la ecuación por $2$ para eliminar el denominador: $$4a + b = 8 \implies (Ecuación \, 1)$$ 💡 **Tip:** Siempre que tengas una condición del tipo $f(x_0) = y_0$, simplemente sustituye la $x$ y la $y$ para obtener una ecuación con los parámetros.

La segunda condición nos dice que $f'(2) = 0$. Primero, debemos hallar la derivada genérica de la función $f(x) = ax + b \cdot x^{-1}$. Derivamos término a término: $$f'(x) = a - \frac{b}{x^2}$$ Ahora imponemos que en $x = 2$ la derivada valga $0$: $$f'(2) = a - \frac{b}{2^2} = 0 \implies a - \frac{b}{4} = 0$$ Multiplicando por $4$ obtenemos: $$4a - b = 0 \implies (Ecuación \, 2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $k/x$ es $-k/x^2$. Es una regla muy común en exámenes de acceso a la universidad.

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $$\begin{cases} 4a + b = 8 \\ 4a - b = 0 \end{cases}$$ Podemos usar el método de reducción sumando ambas ecuaciones: $$(4a + 4a) + (b - b) = 8 + 0$$ $$8a = 8 \implies \mathbf{a = 1}$$ Ahora sustituimos $a=1$ en la segunda ecuación para hallar $b$: $$4(1) - b = 0 \implies 4 = b \implies \mathbf{b = 4}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = 1, \quad b = 4}$$

**b) Encuentre todas las asíntotas de la función $g(x) = x + \frac{1}{x}$.** Para encontrar las **asíntotas verticales (AV)**, buscamos los puntos donde la función no está definida, es decir, donde el denominador se anula. En $g(x) = x + \frac{1}{x} = \frac{x^2 + 1}{x}$, esto ocurre en $x = 0$. Calculamos los límites laterales en $x = 0$: $$\lim_{x \to 0^-} \left( x + \frac{1}{x} \right) = 0 + \frac{1}{0^-} = -\infty$$ $$\lim_{x \to 0^+} \left( x + \frac{1}{x} \right) = 0 + \frac{1}{0^+} = +\infty$$ Como el límite es infinito, existe una asíntota vertical en $x = 0$. 💡 **Tip:** Una función racional suele tener asíntotas verticales en los valores que anulan el denominador y no el numerador. ✅ **Resultado (Asíntota Vertical):** $$\boxed{x = 0}$$

Buscamos **asíntotas horizontales (AH)** calculando el límite en el infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \left( x + \frac{1}{x} \right) = \pm\infty + 0 = \pm\infty$$ Al ser el límite infinito, **no existen asíntotas horizontales**. Buscamos ahora **asíntotas oblicuas (AO)** de la forma $y = mx + n$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{g(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x + 1/x}{x} \right) = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right) = 1 + 0 = 1$$ Ahora calculamos $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} (g(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( x + \frac{1}{x} - 1 \cdot x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$$ La asíntota oblicua es $y = 1x + 0$, es decir, $y = x$. 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador, siempre habrá una asíntota oblicua. En este caso, al estar la función escrita como $x + 1/x$, la propia estructura ya nos indica que $y=x$ es la asíntota. ✅ **Resultado final del apartado b):** $$\boxed{\text{AV: } x = 0, \quad \text{AO: } y = x, \quad \text{AH: No hay}}$$