Análisis 2022 Madrid
Optimización de beneficios y estudio de costes
B.3. (2 puntos) Un investigador ha desarrollado un fertilizante para un determinado cultivo. Los estudios de mercado indican que los ingresos, $I(x)$, en miles de euros, vienen expresados por la función
$$I(x) = x \frac{170 - 0,85x}{5},$$
en la que $x$ representa la demanda del producto, expresada en miles de litros. Por otra parte, los costes de producción que asume la empresa, en miles de euros, se expresan en función de la demanda mediante la función $C(x) = 10 + 2x + x^2$.
a) Proporcione una expresión para la función beneficio en términos de la demanda $x$ y encuentre la cantidad de producto que debería venderse para maximizarlo. Obtenga también el beneficio máximo.
b) Determine entre qué valores debería encontrarse la cantidad demandada de fertilizante para que el coste medio, $C(x)/x$, no supere los diez mil euros.
Nota: Exprese los resultados con 2 cifras decimales.
Paso 1
Definición de la función beneficio
**a) Proporcione una expresión para la función beneficio en términos de la demanda $x$ y encuentre la cantidad de producto que debería venderse para maximizarlo. Obtenga también el beneficio máximo.**
El beneficio $B(x)$ se define como la diferencia entre los ingresos $I(x)$ y los costes $C(x)$.
Primero, simplificamos la expresión de los ingresos:
$$I(x) = \frac{170x - 0,85x^2}{5} = \frac{170}{5}x - \frac{0,85}{5}x^2 = 34x - 0,17x^2$$
Ahora, restamos los costes $C(x) = 10 + 2x + x^2$:
$$B(x) = I(x) - C(x) = (34x - 0,17x^2) - (10 + 2x + x^2)$$
$$B(x) = -0,17x^2 - x^2 + 34x - 2x - 10$$
$$B(x) = -1,17x^2 + 32x - 10$$
💡 **Tip:** El beneficio es siempre $\text{Ingresos} - \text{Costes}$. Ten cuidado al restar el polinomio de costes, el signo negativo afecta a todos sus términos.
✅ **Resultado (función beneficio):**
$$\boxed{B(x) = -1,17x^2 + 32x - 10}$$
Paso 2
Cálculo de la demanda para maximizar el beneficio
Para encontrar el máximo de la función beneficio, calculamos su primera derivada e igualamos a cero:
$$B'(x) = -2,34x + 32$$
Resolvemos la ecuación $B'(x) = 0$:
$$-2,34x + 32 = 0 \implies 2,34x = 32 \implies x = \frac{32}{2,34} \approx 13,6752...$$
Redondeando a dos cifras decimales, obtenemos:
$$x \approx 13,68$$
Como la demanda $x$ está en miles de litros, la cantidad óptima es de **13,68 miles de litros**.
💡 **Tip:** Recuerda que para localizar extremos relativos en funciones derivables buscamos los puntos donde la pendiente de la tangente es horizontal ($f'(x)=0$).
Paso 3
Comprobación del máximo y cálculo del beneficio máximo
Para asegurar que se trata de un máximo, utilizamos el criterio de la segunda derivada:
$$B''(x) = -2,34$$
Como $B''(13,68) = -2,34 \lt 0$, la función es cóncava hacia abajo en ese punto, confirmando que existe un **máximo relativo**.
Calculamos el beneficio máximo sustituyendo $x = 13,68$ en $B(x)$:
$$B(13,68) = -1,17(13,68)^2 + 32(13,68) - 10$$
$$B(13,68) = -1,17(187,1424) + 437,76 - 10$$
$$B(13,68) = -218,9566 + 437,76 - 10 \approx 208,8034$$
Redondeando a dos decimales, el beneficio máximo es de **208,80 miles de euros**.
✅ **Resultado (apartado a):**
$$\boxed{\text{Demanda: } 13,68 \text{ mil. litros} \quad \text{Beneficio máx: } 208,80 \text{ mil. euros}}$$
Paso 4
Planteamiento de la condición del coste medio
**b) Determine entre qué valores debería encontrarse la cantidad demandada de fertilizante para que el coste medio, $C(x)/x$, no supere los diez mil euros.**
El coste medio se define como $\bar{C}(x) = \frac{C(x)}{x}$. El enunciado indica que este no debe superar los diez mil euros ($10$ en las unidades de la función, ya que $C(x)$ está en miles de euros).
Planteamos la inecuación:
$$\frac{C(x)}{x} \le 10 \implies \frac{10 + 2x + x^2}{x} \le 10$$
Como la demanda $x$ es una cantidad de producto, podemos asumir $x \gt 0$, por lo que podemos multiplicar ambos miembros por $x$ sin cambiar el sentido de la desigualdad:
$$10 + 2x + x^2 \le 10x$$
$$x^2 + 2x - 10x + 10 \le 0$$
$$x^2 - 8x + 10 \le 0$$
💡 **Tip:** El coste medio es el coste total dividido por el número de unidades producidas. En este contexto, $x$ debe ser estrictamente positivo para que la división tenga sentido.
Paso 5
Resolución de la inecuación
Para resolver $x^2 - 8x + 10 \le 0$, primero hallamos las raíces de la ecuación cuadrática $x^2 - 8x + 10 = 0$ mediante la fórmula general:
$$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 40}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{24}}{2}$$
Calculamos los valores aproximados:
$$\sqrt{24} \approx 4,8989...$$
$$x_1 = \frac{8 - 4,899}{2} \approx 1,5505 \implies x_1 \approx 1,55$$
$$x_2 = \frac{8 + 4,899}{2} \approx 6,4495 \implies x_2 \approx 6,45$$
La parábola $y = x^2 - 8x + 10$ abre hacia arriba, por lo que los valores negativos (menores o iguales a cero) se encuentran **entre las dos raíces**.
Por tanto, $x$ debe estar en el intervalo $[1,55; 6,45]$.
✅ **Resultado (apartado b):**
$$\boxed{1,55 \le x \le 6,45 \text{ (en miles de litros)}}$$