Probabilidad de envío de invitaciones

**a) Calcule la probabilidad de que una invitación no llegue a su destino.** Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $A$: La invitación es enviada por Ana. - $B$: La invitación es enviada por Berta. - $C$: La invitación es enviada por Carla. - $I$: La invitación tiene un nombre incorrecto (no llega a su destino). - $\bar{I}$: La invitación tiene un nombre correcto (sí llega a su destino). Datos del enunciado en términos de probabilidad: - $P(A) = 0.30$ - $P(B) = 0.40$ - $P(C) = 1 - (0.30 + 0.40) = 0.30$ - $P(I|A) = 0.02$ - $P(I|B) = 0.03$ - $P(I|C) = 0.01$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser $1$. Representamos la situación en un árbol de probabilidad:

Para calcular la probabilidad de que una invitación no llegue a su destino ($I$), aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este teorema nos dice que la probabilidad de un suceso final es la suma de las probabilidades de todos los caminos que llevan a él: $$P(I) = P(A) \cdot P(I|A) + P(B) \cdot P(I|B) + P(C) \cdot P(I|C)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(I) = (0.30 \cdot 0.02) + (0.40 \cdot 0.03) + (0.30 \cdot 0.01)$$ Calculamos cada término: - Por Ana: $0.30 \cdot 0.02 = 0.006$ - Por Berta: $0.40 \cdot 0.03 = 0.012$ - Por Carla: $0.30 \cdot 0.01 = 0.003$ Sumamos los resultados: $$P(I) = 0.006 + 0.012 + 0.003 = 0.021$$ 💡 **Tip:** En probabilidad, el conector "o" se traduce como suma de caminos en el árbol. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(I) = 0.021 \text{ (o } 2.1 \%)}$$

**b) Si una invitación no llegó a su destino, ¿cuál es la probabilidad de que la haya enviado Ana?** En este apartado nos piden una probabilidad a posteriori: conocemos el resultado final (la invitación no llegó, suceso $I$) y queremos saber la probabilidad de que la causa fuera Ana (suceso $A$). Para ello usamos el **Teorema de Bayes**. La fórmula es: $$P(A|I) = \frac{P(A \cap I)}{P(I)} = \frac{P(A) \cdot P(I|A)}{P(I)}$$ Ya tenemos todos los datos necesarios: - $P(A) \cdot P(I|A) = 0.30 \cdot 0.02 = 0.006$ (calculado en el paso anterior). - $P(I) = 0.021$ (calculado en el apartado a). Sustituimos: $$P(A|I) = \frac{0.006}{0.021}$$ Para simplificar la fracción, multiplicamos numerador y denominador por $1000$: $$P(A|I) = \frac{6}{21}$$ Dividiendo ambos por $3$: $$P(A|I) = \frac{2}{7} \approx 0.2857$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre se estructura como (probabilidad de la rama que nos interesa) dividido por (probabilidad total del suceso final). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|I) = \frac{2}{7} \approx 0.2857}$$