Inferencia estadística: Media muestral y nivel de confianza

**a) Calcule el valor de la media muestral.** En un intervalo de confianza para la media de una distribución normal, la media muestral $\bar{x}$ se encuentra exactamente en el centro de dicho intervalo. Esto se debe a que el intervalo se construye sumando y restando el error máximo admisible ($E$) a la media muestral: $IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$. Por tanto, podemos calcular $\bar{x}$ como el punto medio de los extremos del intervalo dado: $$\bar{x} = \frac{157,125 + 182,875}{2}$$ Realizamos la suma: $$157,125 + 182,875 = 340$$ Dividimos por 2: $$\bar{x} = \frac{340}{2} = 170$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la media muestral es siempre el estimador puntual y siempre será el valor central de cualquier intervalo de confianza para la media. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\bar{x} = 170}$$

**b) Si el tamaño de la muestra es $9$, ¿cuál es el nivel de confianza para este intervalo?** Para hallar el nivel de confianza, primero necesitamos conocer el error máximo admisible ($E$). El error es la distancia que hay desde la media muestral hasta cualquiera de los extremos del intervalo. Podemos calcularlo restando el extremo inferior a la media: $$E = \bar{x} - 157,125 = 170 - 157,125 = 12,875$$ O bien, calculando la mitad de la amplitud del intervalo: $$E = \frac{182,875 - 157,125}{2} = \frac{25,75}{2} = 12,875$$ Sabemos que la desviación típica poblacional es $\sigma = 15$ y el tamaño de la muestra es $n = 9$. $$\boxed{E = 12,875}$$

Utilizamos la fórmula del error máximo admisible para despejar el valor crítico $z_{\alpha/2}$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$12,875 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{15}{\sqrt{9}}$$ Como $\sqrt{9} = 3$: $$12,875 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{15}{3}$$ $$12,875 = z_{\alpha/2} \cdot 5$$ Despejamos $z_{\alpha/2}$: $$z_{\alpha/2} = \frac{12,875}{5} = 2,575$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el número de desviaciones típicas que nos alejamos de la media para cubrir la probabilidad deseada. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,575}$$

El valor $z_{\alpha/2}$ se corresponde con una probabilidad en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ tal que: $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$$ Buscamos el valor $2,575$ en la tabla de la distribución normal. Observamos que: - Para $z = 2,57$, la probabilidad es $0,9949$ - Para $z = 2,58$, la probabilidad es $0,9951$ Dado que $2,575$ está justo en medio, tomamos la probabilidad media: $$1 - \frac{\alpha}{2} = 0,9950$$ Despejamos el nivel de confianza $(1 - \alpha)$: Primero hallamos $\frac{\alpha}{2}$: $$\frac{\alpha}{2} = 1 - 0,9950 = 0,0050$$ Calculamos $\alpha$: $$\alpha = 0,0050 \cdot 2 = 0,01$$ Finalmente, el nivel de confianza es: $$1 - \alpha = 1 - 0,01 = 0,99$$ Para expresarlo en porcentaje, multiplicamos por 100: $$0,99 \cdot 100 = 99\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Nivel de confianza} = 99\%}$$