Invertibilidad de una matriz con parámetros y cálculo de la inversa

**a) (1 punto) Determine los valores del parámetro real $a$ para los cuales la matriz $A$ es invertible.** Una matriz cuadrada es invertible (o regular) si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ a & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [2 \cdot (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot 0 + 1 \cdot a \cdot a] - [1 \cdot (-1) \cdot 0 + 0 \cdot a \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot a]$$ $$|A| = [-2 + 0 + a^2] - [0 + 0 + 2a]$$ $$|A| = a^2 - 2a - 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para matrices $3 \times 3$, el determinante por Sarrus suma los productos de la diagonal principal y sus paralelas, y resta los de la diagonal secundaria y las suyas.

Para que la matriz no sea invertible, el determinante debe ser igual a cero: $$a^2 - 2a - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}$$ $$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2}$$ Simplificamos la raíz: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$: $$a = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$$ Por tanto, la matriz $A$ es invertible para todos los valores de $a$ excepto estos dos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \text{ es invertible para } a \in \mathbb{R} \setminus \{1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}\}}$$

**b) (1 punto) Calcule $A^{-1}$ para $a = 1$.** Primero, sustituimos $a = 1$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante sustituyendo en la expresión obtenida en el apartado anterior: $$|A| = 1^2 - 2(1) - 2 = 1 - 2 - 2 = -3$$ Como $|A| = -3 \neq 0$, la matriz es invertible. 💡 **Tip:** La fórmula para la matriz inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{Adj}(A^t)$.

Calculamos la traspuesta de $A$, $A^t$ (intercambiando filas por columnas): $$A^t = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos la matriz adjunta de la traspuesta, $\text{Adj}(A^t)$, hallando el menor complementario de cada elemento con su signo correspondiente: $$\text{Adj}(A^t) = \begin{pmatrix} +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \end{pmatrix}$$ Calculamos cada determinante $2 \times 2$: $$\text{Adj}(A^t) = \begin{pmatrix} (-1-1) & -(0-1) & (0-(-1)) \\ -(1-0) & (2-0) & -(2-1) \\ (1-0) & -(2-0) & (-2-0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -2 & -2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** No olvides alternar los signos (+ - + ...) al calcular los adjuntos.

Aplicamos la fórmula final dividiendo cada elemento por $|A| = -3$: $$A^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -2 & -2 \end{pmatrix}$$ Introducimos el signo dentro de la matriz para mayor claridad: $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 2/3 & -1/3 & -1/3 \\ 1/3 & -2/3 & 1/3 \\ -1/3 & 2/3 & 2/3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}}$$