Problema de programación lineal: Mezcla de chocolate y leche

En primer lugar, definimos las variables de decisión que representan las cantidades que queremos determinar: - $x$: número de litros de leche para la mezcla. - $y$: número de litros de chocolate líquido para la mezcla. Estas variables deben ser no negativas, ya que representan cantidades físicas: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$

A partir del enunciado, extraemos las restricciones del problema: 1. **Disponibilidad de leche:** $x \le 30$. 2. **Disponibilidad de chocolate:** $y \le 20$. 3. **Capacidad de envasado (total de la mezcla):** $x + y \le 45$. 4. **Proporción de leche respecto al chocolate:** "Por cada litro de chocolate, máximo $3$ litros de leche" $\implies x \le 3y$ o lo que es lo mismo $y \ge \frac{x}{3}$. 5. **Proporción de chocolate respecto a la leche:** "Por cada litro de leche, máximo $1,6$ litros de chocolate" $\implies y \le 1,6x$. La **función objetivo** a maximizar representa el beneficio total $B(x, y)$: $$B(x, y) = 1 \cdot x + 2 \cdot y = x + 2y$$ 💡 **Tip:** Lee con cuidado las proporciones: "$x$ por cada $y$ como máximo $k$" se traduce como $x \le k \cdot y$.

Representamos el sistema de inecuaciones en el plano cartesiano para encontrar la **región factible**, que es el recinto que cumple todas las condiciones. Para ello, dibujamos las rectas correspondientes a los límites de cada inecuación: - $r_1: x = 30$ (Vertical) - $r_2: y = 20$ (Horizontal) - $r_3: x + y = 45 \implies y = 45 - x$ - $r_4: x = 3y \implies y = \frac{1}{3}x$ - $r_5: y = 1,6x$ La región factible es el polígono sombreado cuyos vértices determinaremos a continuación.

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se cortan: - **$V_1$ (Origen):** Intersección de $y = 1,6x$ y $y = x/3$. $$\begin{cases} y = 1,6x \\ y = x/3 \end{cases} \implies \boxed{V_1(0, 0)}$$ - **$V_2$:** Intersección de $y = 20$ y $y = 1,6x$. $20 = 1,6x \implies x = \frac{20}{1,6} = 12,5$. $\boxed{V_2(12,5, 20)}$ - **$V_3$:** Intersección de $y = 20$ y $x + y = 45$. $x + 20 = 45 \implies x = 25$. $\boxed{V_3(25, 20)}$ - **$V_4$:** Intersección de $x = 30$ y $x + y = 45$. $30 + y = 45 \implies y = 15$. $\boxed{V_4(30, 15)}$ - **$V_5$:** Intersección de $x = 30$ y $y = x/3$. $y = 30/3 = 10$. $\boxed{V_5(30, 10)}$

Evaluamos $B(x, y) = x + 2y$ en cada uno de los vértices calculados para encontrar el beneficio máximo: - $B(V_1) = 0 + 2(0) = 0€$ - $B(V_2) = 12,5 + 2(20) = 12,5 + 40 = 52,5€$ - $B(V_3) = 25 + 2(20) = 25 + 40 = 65€$ - $B(V_4) = 30 + 2(15) = 30 + 30 = 60€$ - $B(V_5) = 30 + 2(10) = 30 + 20 = 50€$ El valor máximo se alcanza en el vértice $V_3(25, 20)$. 💡 **Tip:** En programación lineal, el óptimo siempre se encuentra en uno de los vértices de la región factible (o en un segmento que los une).

Para obtener el máximo beneficio, el dueño debe mezclar **$25$ litros de leche** y **$20$ litros de chocolate líquido**. El beneficio obtenido será de **$65€$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Leche: } 25\text{ L, Chocolate: } 20\text{ L, Beneficio: } 65€}$$