Análisis de gráfica: monotonía e integral definida

**a) Determine razonadamente los intervalos en los que $f'(x) \gt 0$.** Sabemos que el signo de la primera derivada, $f'(x)$, nos indica el crecimiento o decrecimiento de la función: - Si $f'(x) \gt 0$, la función es **estrictamente creciente**. - Si $f'(x) \lt 0$, la función es **estrictamente decreciente**. - Si $f'(x) = 0$, la función tiene un punto crítico (en este caso, las **tangentes horizontales** indicadas en el enunciado). Observando la gráfica, buscamos los tramos donde la función "sube" al movernos de izquierda a derecha. 💡 **Tip:** Recuerda que $f'(x)$ representa la pendiente de la recta tangente. Si la función crece, la pendiente es positiva.

Analizamos el comportamiento de la función basándonos en los puntos con tangente horizontal ($x = -1, 1, 2, 4$): 1. En $(-\infty, -1)$: La función decrece. 2. En $(-1, 1)$: La función **crece**. Comienza en un mínimo relativo y sube hasta un máximo. 3. En $(1, 2)$: La función decrece. 4. En $(2, 4)$: La función **crece**. Comienza en otro mínimo y sube hasta un máximo relativo. 5. En $(4, \infty)$: La función decrece. Por tanto, los intervalos donde la función es creciente y, en consecuencia, $f'(x) \gt 0$, son: ✅ **Resultado:** $$\boxed{(-1, 1) \cup (2, 4)}$$

**b) Determine razonadamente cuál es el signo de $\int_{-2}^{5} f(x) dx$.** La integral definida $\int_{a}^{b} f(x) dx$ representa el **área neta** bajo la curva entre $x = a$ y $x = b$. Esto significa que: - El área situada por **encima del eje $X$** suma de forma positiva. - El área situada por **debajo del eje $X$** suma de forma negativa. Observando la gráfica entre $x = -2$ y $x = 5$, identificamos tres regiones principales limitadas por los puntos de corte con el eje $X$ (aproximadamente en $x=0$ y $x=3$): 1. **Región 1** ($x \in [-2, 0]$): La función está por debajo del eje $X$. Su contribución a la integral es negativa. 2. **Región 2** ($x \in [0, 3]$): La función está por encima del eje $X$. Su contribución a la integral es positiva. 3. **Región 3** ($x \in [3, 5]$): La función está por debajo del eje $X$. Su contribución a la integral es negativa. 💡 **Tip:** Visualmente, debemos comparar si el "trozo" que está arriba es más grande o más pequeño que los "trozos" que están abajo combinados.

Podemos descomponer la integral de la siguiente forma: $$\int_{-2}^{5} f(x) dx = \int_{-2}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{3} f(x) dx + \int_{3}^{5} f(x) dx$$ Llamemos $A_1$ al área de la región 1, $A_2$ a la de la región 2 y $A_3$ a la de la región 3 (todas como valores absolutos positivos): $$\text{Integral} = -A_1 + A_2 - A_3 = A_2 - (A_1 + A_3)$$ Observando la cuadrícula de la gráfica: - $A_2$ (región positiva) tiene una base de $3$ unidades y alcanza una altura de $y=2$. Su área es considerablemente grande. - $A_1$ tiene base $2$ y una profundidad máxima de $y=-1$. - $A_3$ tiene base $2$ y una profundidad máxima de $y=-2$, pero la forma es muy estrecha hacia el final. Visualmente se aprecia que el área de la región positiva ($A_2$) es mayor que la suma de las áreas de las regiones negativas ($A_1 + A_3$): $$A_2 \gt A_1 + A_3 \implies A_2 - (A_1 + A_3) \gt 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El signo de la integral es positivo (}\gt 0\text{)}}$$