Probabilidad Condicionada y Teorema de la Probabilidad Total

**a) Calcule $P(B)$.** Para resolver este apartado, utilizaremos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sabemos que el suceso $A$ puede ocurrir habiendo ocurrido $B$ o habiendo ocurrido su complementario $B^c$. La fórmula es: $$P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|B^c) \cdot P(B^c)$$ Como $P(B^c) = 1 - P(B)$, podemos sustituir los datos que nos da el enunciado: - $P(A) = 0,6$ - $P(A|B) = 0,4$ - $P(A|B^c) = 0,8$ Si llamamos $x = P(B)$, la ecuación queda: $$0,6 = 0,4 \cdot x + 0,8 \cdot (1 - x)$$ Podemos visualizar esta situación con un árbol de probabilidad: 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1.

Resolvemos la ecuación lineal para hallar $x$: $$0,6 = 0,4x + 0,8 - 0,8x$$ Agrupamos los términos con $x$ en un lado y los números en otro: $$0,6 - 0,8 = 0,4x - 0,8x$$ $$-0,2 = -0,4x$$ Despejamos $x$: $$x = \frac{-0,2}{-0,4} = \frac{0,2}{0,4} = 0,5$$ Por lo tanto, la probabilidad del suceso $B$ es $0,5$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B) = 0,5}$$

**b) ¿Son $A$ y $B$ independientes? Justifique su respuesta.** Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si el hecho de que ocurra uno no modifica la probabilidad de que ocurra el otro. Matemáticamente, se deben cumplir cualquiera de estas condiciones: 1. $P(A|B) = P(A)$ 2. $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ Vamos a comprobar la primera condición utilizando los datos del enunciado: - $P(A|B) = 0,4$ - $P(A) = 0,6$ Comparamos ambos valores: $$0,4 \neq 0,6 \implies P(A|B) \neq P(A)$$ Como la probabilidad de $A$ condicionada a $B$ es distinta de la probabilidad de $A$, los sucesos **no son independientes**. 💡 **Tip:** Si $P(A|B) < P(A)$, significa que la ocurrencia de $B$ hace que sea menos probable que ocurra $A$; existe una dependencia negativa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A y B no son independientes porque } P(A|B) \neq P(A)}$$