Intervalo de confianza y tamaño muestral para la media

**a) Se toma una muestra aleatoria de tamaño $20$ y se obtiene que su media muestral es $50$ kg. Determine un intervalo de confianza del $99 \%$ para el peso medio de un saco de cemento.** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ como el peso de los sacos de cemento en kg. El enunciado nos indica que sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(\mu, 2)$$ Los datos proporcionados para el primer apartado son: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 2$ - Tamaño de la muestra: $n = 20$ - Media muestral: $\bar{x} = 50$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,99$ 💡 **Tip:** En los problemas de intervalos de confianza para la media con $\sigma$ conocida, siempre trabajaremos con la distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$.

Para un nivel de confianza del $99\%$, debemos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(-z_{\alpha/2} \le Z \le z_{\alpha/2}) = 0,99$. Calculamos $\alpha$: $$1 - \alpha = 0,99 \implies \alpha = 0,01 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,005$$ Buscamos en la tabla de la normal el valor cuya probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,005 = 0,995$$ Mirando en las tablas de la distribución $N(0, 1)$, el valor de probabilidad $0,995$ se encuentra entre $2,57$ y $2,58$. Usualmente se toma el valor medio o el más preciso: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,575}$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son $1,645$ ($90\%$), $1,96$ ($95\%$) y $2,575$ ($99\%$).

La fórmula del error máximo admisible es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 2,575 \cdot \frac{2}{\sqrt{20}} = 2,575 \cdot \frac{2}{4,472} \approx 2,575 \cdot 0,4472 = 1,1516$$ El intervalo de confianza se calcula como $I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$I.C. = (50 - 1,1516, \; 50 + 1,1516)$$ $$I.C. = (48,8484, \; 51,1516)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C._{99\%} = (48,85, \; 51,15)}$$

**b) Determine el tamaño mínimo de la muestra para que el error máximo cometido en la estimación de la media sea menor que $1$ kilogramo, con un nivel de confianza del $90 \%$.** En este apartado, cambian las condiciones: - El error debe ser menor que $1$: $E \lt 1$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,90$ - La desviación típica sigue siendo $\sigma = 2$ Buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el $90\%$: $$1 - \alpha = 0,90 \implies \alpha = 0,10 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,05$$ $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,05 = 0,95$$ Consultando la tabla de la normal: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,645}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que a menor nivel de confianza, menor es el valor crítico y, por tanto, menor el tamaño de muestra requerido para un mismo error.

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los datos conocidos: $$n \gt \left( \frac{1,645 \cdot 2}{1} \right)^2$$ $$n \gt (3,29)^2$$ $$n \gt 10,8241$$ Como el tamaño de la muestra $n$ debe ser un número entero, debemos redondear siempre al siguiente entero superior para garantizar que el error sea **menor** que el solicitado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 11 \text{ sacos}}$$