Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Discuta la compatibilidad del sistema para los diferentes valores de $a$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ a & -1 & -a \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & a \\ a & -1 & -a & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema, calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ a & -1 & -a \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = [1 \cdot (-1) \cdot 1 + a \cdot (-a) \cdot 1 + a \cdot 1 \cdot 1] - [1 \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot (-a) \cdot 1 + a \cdot a \cdot 1]$$ $$|A| = [-1 - a^2 + a] - [-1 - a + a^2] = -1 - a^2 + a + 1 + a - a^2 = -2a^2 + 2a$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-2a^2 + 2a = 0 \implies 2a(-a + 1) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: **$a = 0$** y **$a = 1$**. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius indica que si $|A| \neq 0$, el rango de la matriz es máximo y el sistema es compatible determinado.

Si $a \neq 0$ y $a \neq 1$, entonces el determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). En este caso: - $\text{rango}(A) = 3$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ - Número de incógnitas = 3 Según el Teorema de Rouché-Frobenius, al coincidir los rangos con el número de incógnitas, el sistema es: $$\boxed{\text{Sistema Compatible Determinado (SCD)} \text{ para } a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}}$$

Sustituimos $a = 0$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Ya sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el $\text{rango}(A^*)$ calculando un determinante de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) \cdot 1 = -1 \neq 0$$ Como el determinante de orden 3 es distinto de cero, $\text{rango}(A^*) = 3$. Como $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$, el sistema es: $$\boxed{\text{Sistema Incompatible (SI)} \text{ para } a = 0}$$

Sustituimos $a = 1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que la primera fila ($F_1$) y la tercera fila ($F_3$) son idénticas. Esto implica que cualquier determinante de orden 3 será 0. Calculamos el rango buscando un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Como $F_1 = F_3$ en toda la matriz ampliada, también se cumple que $\text{rango}(A^*) = 2$. Dado que $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt \text{número de incógnitas} (3)$, el sistema es: $$\boxed{\text{Sistema Compatible Indeterminado (SCI)} \text{ para } a = 1}$$

**b) Resuelva el sistema para $a = 2$.** Para $a = 2$, el sistema es compatible determinado. El sistema queda: $$\left. \begin{array}{rcl} x + 2y + z & = & 2 \\ 2x - y - 2z & = & 0 \\ x + y + z & = & 1 \end{array} \right\}$$ Calculamos primero el determinante de la matriz de coeficientes para $a = 2$ usando la expresión $|A| = -2a^2 + 2a$: $$|A| = -2(2)^2 + 2(2) = -8 + 4 = -4$$ Utilizamos la regla de Cramer para hallar las incógnitas: $$x = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}}{-4} = \frac{(-2 - 4 + 0) - (-1 - 4 + 0)}{-4} = \frac{-6 - (-5)}{-4} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$$ $$y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}}{-4} = \frac{(0 - 4 + 2) - (0 - 2 + 4)}{-4} = \frac{-2 - 2}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1$$ $$z = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}}{-4} = \frac{(-1 + 0 + 4) - (-2 + 0 + 4)}{-4} = \frac{3 - 2}{-4} = -\frac{1}{4}$$ 💡 **Tip:** Siempre puedes verificar tu solución sustituyendo los valores en cualquiera de las ecuaciones originales, por ejemplo: $x+y+z = 1/4 + 1 - 1/4 = 1$, que coincide con la tercera ecuación. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = \frac{1}{4}, \quad y = 1, \quad z = -\frac{1}{4}}$$