Estudio de asíntotas y derivación de una función racional

**a) Determine sus asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).** Primero, identificamos el dominio de la función. Al ser una función racional, el dominio son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador: $$x - 1 = 0 \implies x = 1$$ $$Dom(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}$$ Para comprobar si hay una asíntota vertical en $x = 1$, calculamos los límites laterales: $$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = \frac{1^2 - 1 + 1}{0^-} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$ $$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = \frac{1^2 - 1 + 1}{0^+} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ Como el límite es infinito, confirmamos la existencia de la asíntota. 💡 **Tip:** Existe una asíntota vertical en $x=a$ si el límite de la función cuando $x$ tiende a $a$ es $\pm\infty$. Generalmente ocurre en los puntos que no pertenecen al dominio. ✅ **Resultado (Asíntota Vertical):** $$\boxed{x = 1}$$

Para hallar las asíntotas horizontales, calculamos el límite de la función cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}$$ Como el grado del numerador (2) es mayor que el grado del denominador (1), el límite es infinito: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to \infty} x = +\infty$$ $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = -\infty$$ 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es estrictamente mayor que el del denominador, no existen asíntotas horizontales. ✅ **Resultado (Asíntota Horizontal):** $$\boxed{\text{No tiene asíntotas horizontales}}$$

Puesto que no hay asíntotas horizontales y el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador, buscamos una asíntota oblicua de la forma $y = mx + n$. Calculamos $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x + 1}{x(x - 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x + 1}{x^2 - x}$$ Al ser el mismo grado en numerador y denominador, dividimos los coeficientes principales: $$m = \frac{1}{1} = 1$$ Calculamos $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} - 1 \cdot x \right)$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x + 1 - x(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x + 1 - x^2 + x}{x - 1}$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x - 1} = 0$$ La ecuación de la asíntota es $y = 1x + 0$. 💡 **Tip:** También puedes hallar la asíntota oblicua dividiendo el polinomio del numerador entre el del denominador; el cociente de la división será la recta buscada. ✅ **Resultado (Asíntota Oblicua):** $$\boxed{y = x}$$

**b) Calcule $f'(x)$ y halle el valor de $f'(2)$.** Utilizamos la regla de la derivada de un cociente: $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ Definimos: - $u = x^2 - x + 1 \implies u' = 2x - 1$ - $v = x - 1 \implies v' = 1$ Aplicamos la fórmula: $$f'(x) = \frac{(2x - 1)(x - 1) - (x^2 - x + 1)(1)}{(x - 1)^2}$$ Expandimos el numerador: $$f'(x) = \frac{(2x^2 - 2x - x + 1) - (x^2 - x + 1)}{(x - 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1 - x^2 + x - 1}{(x - 1)^2}$$ Simplificamos los términos: $$f'(x) = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2}$$ ✅ **Resultado (Derivada):** $$\boxed{f'(x) = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2}}$$

Para hallar el valor de la derivada en el punto $x = 2$, simplemente sustituimos este valor en la expresión obtenida en el paso anterior: $$f'(2) = \frac{2^2 - 2(2)}{(2 - 1)^2}$$ $$f'(2) = \frac{4 - 4}{1^2} = \frac{0}{1} = 0$$ Esto significa que en $x = 2$ la función tiene un punto crítico (en este caso, un mínimo relativo). 💡 **Tip:** Cuando $f'(a) = 0$, la recta tangente a la curva en ese punto es horizontal. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{f'(2) = 0}$$