Optimización del coste de un alambre: cuadrado y rectángulo

**B.3. (2 puntos) Un escultor quiere dividir un alambre muy fino en dos trozos que se utilizarán para delimitar, respectivamente, un cuadrado y un rectángulo cuya base debe medir el doble que su altura... Determine la función de coste total de ambas figuras.** Primero definimos las variables para cada figura en función de la altura del rectángulo como sugiere el enunciado: **Para el rectángulo:** - Sea $h$ la altura del rectángulo (en cm). - La base mide el doble que su altura: $b = 2h$. - El perímetro del rectángulo (longitud del segundo trozo de alambre) es: $$L_R = 2b + 2h = 2(2h) + 2h = 6h$$ - El área del rectángulo es $A_R = b \cdot h = 2h \cdot h = 2h^2$. **Para el cuadrado:** - El alambre total mide $450$ cm. Si el trozo del rectángulo mide $6h$, el trozo para el cuadrado mide: $$L_C = 450 - 6h$$ - Como el perímetro del cuadrado es $4L$ (donde $L$ es el lado), el lado del cuadrado es: $$L = \frac{450 - 6h}{4} = 112.5 - 1.5h$$ - El área del cuadrado es $A_C = L^2 = (112.5 - 1.5h)^2$. 💡 **Tip:** Recuerda que el perímetro es la suma de todos los lados de la figura. Para el rectángulo es $2 \times (\text{base} + \text{altura})$ y para el cuadrado $4 \times \text{lado}$.

El coste total $C(h)$ será la suma del coste del área del cuadrado y del rectángulo, multiplicados por sus respectivos precios por $\text{cm}^2$: - Coste cuadrado ($16$ cént/$\text{cm}^2$): $16 \cdot A_C = 16(112.5 - 1.5h)^2$ - Coste rectángulo ($10$ cént/$\text{cm}^2$): $10 \cdot A_R = 10(2h^2) = 20h^2$ La función de coste total en céntimos es: $$C(h) = 16(112.5 - 1.5h)^2 + 20h^2$$ Simplificamos la expresión para facilitar el cálculo de la derivada: $C(h) = 16(12656.25 - 337.5h + 2.25h^2) + 20h^2$ $C(h) = 202500 - 5400h + 36h^2 + 20h^2$ ✅ **Resultado (Función de coste):** $$\boxed{C(h) = 56h^2 - 5400h + 202500}$$ *(Nota: El dominio de la función viene dado por $h > 0$ y $450 - 6h > 0$, es decir, $0 < h < 75$)*.

**Obtenga la longitud de cada trozo de alambre para que el coste total de estas piezas sea mínimo.** Para hallar el mínimo, derivamos $C(h)$ e igualamos a cero: $$C'(h) = 112h - 5400$$ Igualamos a cero: $$112h - 5400 = 0 \implies 112h = 5400 \implies h = \frac{5400}{112} \approx 48.214 \text{ cm}$$ Para comprobar que es un mínimo, usamos el criterio de la segunda derivada: $$C''(h) = 112$$ Como $C''(48.214) = 112 > 0$, confirmamos que en $h = 48.214$ existe un **mínimo relativo**. También podemos observar el signo de la primera derivada: $$\begin{array}{c|ccc} h & (0, 48.214) & 48.214 & (48.214, 75) \\ \hline C'(h) & - & 0 & + \\ \hline C(h) & \searrow & \min & \nearrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Para optimizar, siempre buscamos los puntos críticos donde la derivada es cero y luego verificamos si es máximo o mínimo con la segunda derivada o estudiando el crecimiento.

Calculamos la longitud de cada trozo utilizando el valor de $h = 48.214$ cm: 1. **Trozo para el rectángulo:** $$L_R = 6h = 6 \cdot 48.214 = 289.284 \text{ cm}$$ 2. **Trozo para el cuadrado:** $$L_C = 450 - 6h = 450 - 289.284 = 160.716 \text{ cm}$$ Verificación: $289.284 + 160.716 = 450$ cm. ✅ **Resultado (Longitudes):** $$\boxed{\text{Trozo cuadrado: } 160.716 \text{ cm, Trozo rectángulo: } 289.284 \text{ cm}}$$