Probabilidad y Estadística 2022 Madrid
Probabilidad condicionada y extracción de cartas
B.4. (2 puntos) Una carta escogida al azar es eliminada (sin ser vista) de un mazo de $52$ cartas de póker, en el que hay $13$ cartas de cada palo (diamantes, corazones, picas y tréboles). Una vez eliminada, se escoge al azar una carta, entre las que quedan en el mazo, y esta segunda carta es observada.
a) Calcule la probabilidad de que la carta observada sea de diamantes.
b) Si la carta observada no es diamantes, calcule la probabilidad de que la carta eliminada tampoco lo haya sido.
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**a) Calcule la probabilidad de que la carta observada sea de diamantes.**
En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el experimento:
- $D_1$: La primera carta (la eliminada) es de diamantes.
- $\bar{D}_1$: La primera carta no es de diamantes.
- $D_2$: La segunda carta (la observada) es de diamantes.
- $\bar{D}_2$: La segunda carta no es de diamantes.
Calculamos las probabilidades iniciales:
Como hay $13$ diamantes de un total de $52$ cartas:
$P(D_1) = \dfrac{13}{52} = \dfrac{1}{4}$
$P(\bar{D}_1) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$
Tras eliminar la primera carta, quedan $51$ cartas en el mazo. Las probabilidades condicionadas de la segunda extracción son:
- Si la primera fue diamante ($D_1$): quedan $12$ diamantes de $51$ cartas. $P(D_2|D_1) = \dfrac{12}{51}$.
- Si la primera no fue diamante ($\bar{D}_1$): quedan $13$ diamantes de $51$ cartas. $P(D_2|\bar{D}_1) = \dfrac{13}{51}$.
Representamos la situación en un árbol de probabilidad:
💡 **Tip:** En experimentos de extracción sin devolución, el número total de casos posibles disminuye en uno para la segunda extracción.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total
Para calcular la probabilidad de que la segunda carta sea de diamantes, $P(D_2)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(D_2) = P(D_1) \cdot P(D_2|D_1) + P(\bar{D}_1) \cdot P(D_2|\bar{D}_1)$$
Sustituimos los valores obtenidos del árbol:
$$P(D_2) = \left( \frac{13}{52} \right) \cdot \left( \frac{12}{51} \right) + \left( \frac{39}{52} \right) \cdot \left( \frac{13}{51} \right)$$
Simplificamos las fracciones para facilitar el cálculo ($13/52 = 1/4$ y $39/52 = 3/4$):
$$P(D_2) = \left( \frac{1}{4} \right) \cdot \left( \frac{12}{51} \right) + \left( \frac{3}{4} \right) \cdot \left( \frac{13}{51} \right)$$
$$P(D_2) = \frac{12}{204} + \frac{39}{204} = \frac{51}{204}$$
Dividiendo $204$ entre $51$ obtenemos exactamente $4$, por lo tanto:
$$P(D_2) = \frac{1}{4} = 0,25$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(D_2) = 0,25}$$
Paso 3
Probabilidad a posteriori (Teorema de Bayes)
**b) Si la carta observada no es diamantes, calcule la probabilidad de que la carta eliminada tampoco lo haya sido.**
Se nos pide calcular la probabilidad condicionada $P(\bar{D}_1 | \bar{D}_2)$. Para ello, utilizamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(\bar{D}_1 | \bar{D}_2) = \frac{P(\bar{D}_1 \cap \bar{D}_2)}{P(\bar{D}_2)}$$
Primero calculamos el denominador $P(\bar{D}_2)$, que es el suceso contrario al calculado en el apartado anterior:
$$P(\bar{D}_2) = 1 - P(D_2) = 1 - 0,25 = 0,75 = \frac{3}{4}$$
Ahora calculamos el numerador $P(\bar{D}_1 \cap \bar{D}_2)$ siguiendo la rama correspondiente del árbol:
$$P(\bar{D}_1 \cap \bar{D}_2) = P(\bar{D}_1) \cdot P(\bar{D}_2|\bar{D}_1) = \frac{3}{4} \cdot \frac{38}{51}$$
$$P(\bar{D}_1 \cap \bar{D}_2) = \frac{114}{204}$$
Finalmente, aplicamos la fórmula de Bayes:
$$P(\bar{D}_1 | \bar{D}_2) = \frac{\frac{114}{204}}{\frac{3}{4}} = \frac{114 \cdot 4}{204 \cdot 3} = \frac{456}{612}$$
Simplificamos la fracción dividiendo entre $12$:
$$P(\bar{D}_1 | \bar{D}_2) = \frac{38}{51} \approx 0,7451$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa cuando conocemos el resultado final (la carta observada) y queremos saber la probabilidad de algo que ocurrió anteriormente (la carta eliminada).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{D}_1 | \bar{D}_2) = \frac{38}{51} \approx 0,7451}$$