Inferencia estadística: Intervalo de confianza y media muestral

**a) Determine el valor de $\sigma$ sabiendo que $I = (58,2; 73,8)$ es un intervalo de confianza del $95 \%$ para $\mu$.** Un intervalo de confianza para la media tiene la forma $I = (\overline{x} - E, \overline{x} + E)$, donde $\overline{x}$ es la media muestral y $E$ es el error máximo admisible. Primero, calculamos el punto medio del intervalo, que corresponde a la media muestral $\overline{x}$: $$\overline{x} = \frac{58,2 + 73,8}{2} = \frac{132}{2} = 66.$$ Ahora, calculamos el error $E$, que es la distancia desde el centro hasta cualquiera de los extremos: $$E = 73,8 - 66 = 7,8.$$ 💡 **Tip:** El error también se puede calcular como la mitad de la amplitud del intervalo: $E = \frac{\text{extremo superior} - \text{extremo inferior}}{2}$.

Para un nivel de confianza del $95 \%$, el nivel de significación es $\alpha = 1 - 0,95 = 0,05$. Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad en la zona central sea $0,95$. Esto implica que el área a la izquierda de $z_{\alpha/2}$ en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ es: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{0,05}{2} = 1 - 0,025 = 0,975.$$ Buscando en la tabla de la normal $N(0,1)$, el valor que corresponde a una probabilidad de $0,975$ es: $$z_{\alpha/2} = 1,96.$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son $1,645$ para el $90 \%$, $1,96$ para el $95 \%$ y $2,575$ para el $99 \%$.

La fórmula del error para la media muestral es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Donde conocemos: - $E = 7,8$ - $z_{\alpha/2} = 1,96$ - $n = 10$ Sustituimos y despejamos $\sigma$: $$7,8 = 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{10}}$$ $$7,8 \cdot \sqrt{10} = 1,96 \cdot \sigma$$ $$\sigma = \frac{7,8 \cdot \sqrt{10}}{1,96} \approx \frac{7,8 \cdot 3,1623}{1,96} \approx 12,585.$$ ✅ **Resultado (sigma):** $$\boxed{\sigma \approx 12,585}$$

**b) Si $\sigma = 20$, calcule $P(-10 \lt \overline{X} - \mu \lt 10)$.** Sabemos que si la población sigue una distribución $N(\mu, \sigma)$, entonces la distribución de las medias muestrales de tamaño $n$ sigue una distribución: $$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Con los datos del apartado b): - $\sigma = 20$ - $n = 10$ La desviación típica de la media muestral es: $$\sigma_{\overline{X}} = \frac{20}{\sqrt{10}} \approx \frac{20}{3,1623} \approx 6,3246.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la variabilidad de la media de la muestra es menor que la variabilidad de la población individual, por eso dividimos por $\sqrt{n}$.

Queremos calcular $P(-10 \lt \overline{X} - \mu \lt 10)$. Para ello, tipificamos la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0,1)$ dividiendo por la desviación típica de la media muestral: $$P\left(\frac{-10}{\sigma/\sqrt{n}} \lt \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \lt \frac{10}{\sigma/\sqrt{n}}\right) = P\left(\frac{-10}{6,3246} \lt Z \lt \frac{10}{6,3246}\right)$$ Calculamos los valores: $$P(-1,581 \lt Z \lt 1,581)$$ Utilizando las propiedades de simetría de la normal: $$P(-1,58 \lt Z \lt 1,58) = P(Z \lt 1,58) - P(Z \lt -1,58)$$ $$P(Z \lt 1,58) - [1 - P(Z \lt 1,58)] = 2 \cdot P(Z \lt 1,58) - 1$$ Consultamos la tabla para $z = 1,58$: $$P(Z \lt 1,58) = 0,9429$$ Sustituimos: $$2 \cdot 0,9429 - 1 = 1,8858 - 1 = 0,8858.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(-10 \lt \overline{X} - \mu \lt 10) = 0,8858}$$