Operaciones matriciales y resolución de ecuaciones matriciales

**a) (1.25 puntos) Un agricultor vende la producción de tres tipos de uva, Tempranillo, Garnacha y Macabeo, de dos de sus fincas. La matriz $Q = \begin{pmatrix} 50 & 40 & 35 \\ 0 & 60 & 55 \end{pmatrix}$ recoge la producción, en miles de kilogramos, de estos tipos de uva en cada finca. El precio de venta por kilogramo, en céntimos de euro, según el tipo de uva y la finca, viene dado por la matriz $P = \begin{pmatrix} 40 & 38 & 42 \\ 34 & 37 & 40 \end{pmatrix}$. Calcule el producto $Q \cdot P^t$ y explique el significado económico de los elementos de la diagonal principal del resultado. Indique también la cantidad total de dinero que ha obtenido el agricultor por la venta de la cosecha de las dos fincas.** Primero, obtenemos la traspuesta de la matriz de precios $P$, intercambiando sus filas por columnas: $$P^t = \begin{pmatrix} 40 & 34 \\ 38 & 37 \\ 42 & 40 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos el producto $Q \cdot P^t$ multiplicando fila por columna: $$Q \cdot P^t = \begin{pmatrix} 50 & 40 & 35 \\ 0 & 60 & 55 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 40 & 34 \\ 38 & 37 \\ 42 & 40 \end{pmatrix}$$ Realizamos las operaciones: $$Q \cdot P^t = \begin{pmatrix} (50 \cdot 40 + 40 \cdot 38 + 35 \cdot 42) & (50 \cdot 34 + 40 \cdot 37 + 35 \cdot 40) \\ (0 \cdot 40 + 60 \cdot 38 + 55 \cdot 42) & (0 \cdot 34 + 60 \cdot 37 + 55 \cdot 40) \end{pmatrix}$$ $$Q \cdot P^t = \begin{pmatrix} (2000 + 1520 + 1470) & (1700 + 1480 + 1400) \\ (0 + 2280 + 2310) & (0 + 2220 + 2200) \end{pmatrix}$$ $$Q \cdot P^t = \begin{pmatrix} 4990 & 4580 \\ 4590 & 4420 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda. ✅ **Resultado del producto:** $$\boxed{Q \cdot P^t = \begin{pmatrix} 4990 & 4580 \\ 4590 & 4420 \end{pmatrix}}$$

Analizamos los elementos de la diagonal principal del resultado obtenido: - El elemento $d_{11} = 4990$ representa los ingresos totales de la **Finca 1** al vender su producción a los precios establecidos para dicha finca. - El elemento $d_{22} = 4420$ representa los ingresos totales de la **Finca 2** al vender su producción a sus respectivos precios. Como la producción está en **miles de kg** y el precio en **céntimos**, los valores están en **miles de céntimos de euro**. Para hallar el dinero total obtenido sumamos ambos elementos: $$\text{Total} = 4990 + 4420 = 9410 \text{ (miles de céntimos)}$$ Convertimos a euros: $$9410 \times 1000 = 9.410.000 \text{ céntimos}$$ Dividiendo entre 100: $$\frac{9.410.000}{100} = 94.100 \text{ €}$$ ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{\text{Ingresos Totales: } 94.100 \text{ €}}$$

**b1) (0.5 puntos) Suponiendo que $M$ sea invertible, despeje la matriz $X$ en la ecuación anterior.** Partimos de la ecuación: $$M \cdot X + N = V$$ Primero, restamos la matriz $N$ en ambos lados: $$M \cdot X = V - N$$ Como $M$ es invertible, existe $M^{-1}$. Multiplicamos por la **izquierda** en ambos miembros por $M^{-1}$: $$M^{-1} \cdot (M \cdot X) = M^{-1} \cdot (V - N)$$ $$(M^{-1} \cdot M) \cdot X = M^{-1} \cdot (V - N)$$ $$I \cdot X = M^{-1} \cdot (V - N)$$ $$X = M^{-1} \cdot (V - N)$$ 💡 **Tip:** En álgebra de matrices el orden de los factores importa. Al despejar $M$ que está a la izquierda, debemos multiplicar por $M^{-1}$ por la izquierda en el otro lado también. ✅ **Resultado del despeje:** $$\boxed{X = M^{-1} \cdot (V - N)}$$

**b2) (0.75 puntos) Para $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $N = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ y $V = \begin{pmatrix} 8 & 7 \\ 6 & 5 \end{pmatrix}$, calcule la matriz $X$.** 1. Calculamos la matriz diferencia $(V - N)$: $$V - N = \begin{pmatrix} 8 & 7 \\ 6 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8-1 & 7-4 \\ 6-3 & 5-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$$ 2. Calculamos la inversa de $M$, $M^{-1}$. El determinante es: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1) - (0 \cdot 1) = 1$$ Como $|M| \neq 0$, la matriz es invertible. Hallamos la matriz de adjuntos y su traspuesta: $$Adj(M) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \implies (Adj(M))^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$M^{-1} = \frac{1}{|M|} \cdot (Adj(M))^t = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Calculamos $X = M^{-1} \cdot (V - N)$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \cdot 7 + 0 \cdot 3) & (1 \cdot 3 + 0 \cdot 3) \\ (-1 \cdot 7 + 1 \cdot 3) & (-1 \cdot 3 + 1 \cdot 3) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ -4 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ -4 & 0 \end{pmatrix}}$$