Programación lineal: Minimización de costes de producción

Para resolver este problema de programación lineal, primero definimos las variables de decisión basadas en lo que nos pide el enunciado: - $x$: número de horas extraordinarias de la cadena $A$. - $y$: número de horas extraordinarias de la cadena $B$. El objetivo es **minimizar los costes de producción**. Según el enunciado, el coste de $A$ es $300 €/h$ y el de $B$ es $600 €/h$. Por tanto, la función objetivo $C(x, y)$ es: $$C(x, y) = 300x + 600y$$ 💡 **Tip:** Las variables siempre deben representar las cantidades que podemos controlar para optimizar el resultado (en este caso, las horas de cada cadena).

Traducimos las condiciones del enunciado en inecuaciones: 1. **Producción de portátiles:** La cadena $A$ hace 15 por hora y la $B$ hace 10. El total debe ser un máximo de 360: $$15x + 10y \le 360$$ 2. **Producción de tablets:** La cadena $A$ hace 6 por hora y la $B$ hace 10. El total debe ser al menos 216: $$6x + 10y \ge 216$$ 3. **Relación entre horas:** La cadena $B$ puede realizar, como máximo, el triple de horas que la cadena $A$: $$y \le 3x$$ 4. **No negatividad:** Las horas no pueden ser negativas: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ Simplificando las dos primeras (opcional pero recomendado): - $15x + 10y \le 360 \implies 3x + 2y \le 72$ - $6x + 10y \ge 216 \implies 3x + 5y \ge 108$ $$\boxed{\begin{cases} 3x + 2y \le 72 \\ 3x + 5y \ge 108 \\ y \le 3x \\ x, y \ge 0 \end{cases}}$$

Representamos gráficamente las rectas asociadas a las restricciones para encontrar la región de soluciones posibles (región factible): - $r_1: 3x + 2y = 72$ (puntos $(0, 36)$ y $(24, 0)$) - $r_2: 3x + 5y = 108$ (puntos $(0, 21.6)$ y $(36, 0)$) - $r_3: y = 3x$ (puntos $(0, 0)$ y $(10, 30)$) La región factible es el polígono delimitado por estas condiciones: "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "r1", "latex": "3x + 2y = 72", "color": "#2563eb" }, { "id": "r2", "latex": "3x + 5y = 108", "color": "#ef4444" }, { "id": "r3", "latex": "y = 3x", "color": "#16a34a" }, { "id": "region", "latex": "3x + 2y \\le 72 \\{3x + 5y \\ge 108\\} \\{y \\le 3x\\} \\{x \\ge 0\\} \\{y \\ge 0\\}", "color": "#93c5fd" }, { "id": "P1", "latex": "(8, 24)", "showLabel": true, "label": "P1(8,24)" }, { "id": "P2", "latex": "(6, 18)", "showLabel": true, "label": "P2(6,18)" }, { "id": "P3", "latex": "(16, 12)", "showLabel": true, "label": "P3(16,12)" } ], "bounds": { "left": -2, "right": 30, "bottom": -2, "top": 40 } } }

Los vértices de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones entre las rectas: 1. **Vértice $P_1$** (Intersección de $r_1$ y $r_3$): $$\begin{cases} 3x + 2y = 72 \\ y = 3x \end{cases} \implies 3x + 2(3x) = 72 \implies 9x = 72 \implies x = 8, \ y = 24 \implies \mathbf{P_1(8, 24)}$$ 2. **Vértice $P_2$** (Intersección de $r_2$ y $r_3$): $$\begin{cases} 3x + 5y = 108 \\ y = 3x \end{cases} \implies 3x + 5(3x) = 108 \implies 18x = 108 \implies x = 6, \ y = 18 \implies \mathbf{P_2(6, 18)}$$ 3. **Vértice $P_3$** (Intersección de $r_1$ y $r_2$): $$\begin{cases} 3x + 2y = 72 \\ 3x + 5y = 108 \end{cases} $$ Restando la primera a la segunda: $(3x+5y)-(3x+2y) = 108-72 \implies 3y = 36 \implies y = 12$. Sustituyendo $y=12$ en la primera: $3x + 24 = 72 \implies 3x = 48 \implies x = 16 \implies \mathbf{P_3(16, 12)}$$

Evaluamos $C(x, y) = 300x + 600y$ en cada uno de los vértices encontrados para ver cuál minimiza el coste: - Para $P_1(8, 24)$: $$C(8, 24) = 300(8) + 600(24) = 2400 + 14400 = 16800 €$$ - Para $P_2(6, 18)$: $$C(6, 18) = 300(6) + 600(18) = 1800 + 10800 = 12600 €$$ - Para $P_3(16, 12)$: $$C(16, 12) = 300(16) + 600(12) = 4800 + 7200 = 12000 €$$ El valor mínimo es **12000 €**, que se alcanza con 16 horas de la cadena $A$ y 12 horas de la cadena $B$. 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, si la región factible es acotada, el máximo y el mínimo siempre se encuentran en uno de los vértices del polígono. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Planificación: 16 h de la cadena A y 12 h de la cadena B. Coste mínimo: 12000 €}}$$