Recta tangente e integrales definidas

**a) (1.5 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada una de las siguientes funciones en el punto de abscisa $x = 0$: $f(x) = \frac{3x^2 + 5x - 2}{-3x + 7}$** Para hallar la recta tangente a $f(x)$ en $x=0$, necesitamos calcular el valor de la función $f(0)$ y su derivada $f'(0)$. 1. **Calculamos la imagen de la función:** $$f(0) = \frac{3(0)^2 + 5(0) - 2}{-3(0) + 7} = \frac{-2}{7}$$ 2. **Calculamos la función derivada $f'(x)$** usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(6x + 5)(-3x + 7) - (3x^2 + 5x - 2)(-3)}{(-3x + 7)^2}$$ Simplificamos el numerador: $$f'(x) = \frac{-18x^2 + 42x - 15x + 35 + 9x^2 + 15x - 6}{(-3x + 7)^2} = \frac{-9x^2 + 42x + 29}{(-3x + 7)^2}$$ 3. **Calculamos la pendiente de la tangente** ($m = f'(0)$): $$m = f'(0) = \frac{-9(0)^2 + 42(0) + 29}{(-3(0) + 7)^2} = \frac{29}{49}$$ 4. **Aplicamos la fórmula de la recta tangente:** $y - f(0) = f'(0)(x - 0)$ $$y - \left( -\frac{2}{7} \right) = \frac{29}{49}(x - 0) \Rightarrow y + \frac{2}{7} = \frac{29}{49}x$$ $$y = \frac{29}{49}x - \frac{2}{7}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de la recta tangente es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. ✅ **Resultado para $f(x)$:** $$\boxed{y = \frac{29}{49}x - \frac{2}{7}}$$

**Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $g(x) = \ln \left( \frac{1}{3x + 1} \right)$ en $x = 0$.** Podemos simplificar $g(x)$ usando las propiedades de los logaritmos: $g(x) = \ln(1) - \ln(3x+1) = -\ln(3x+1)$. 1. **Calculamos la imagen:** $$g(0) = -\ln(3(0) + 1) = -\ln(1) = 0$$ 2. **Calculamos la derivada $g'(x)$** usando la regla de la cadena: $$g'(x) = -\frac{1}{3x + 1} \cdot 3 = -\frac{3}{3x + 1}$$ 3. **Calculamos la pendiente** ($m = g'(0)$): $$m = g'(0) = -\frac{3}{3(0) + 1} = -3$$ 4. **Ecuación de la recta tangente:** $$y - 0 = -3(x - 0) \Rightarrow y = -3x$$ 💡 **Tip:** Utilizar propiedades de logaritmos como $\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)$ facilita mucho la derivación posterior. ✅ **Resultado para $g(x)$:** $$\boxed{y = -3x}$$

**b) (1 punto) Calcule las integrales definidas siguientes: $\int_{-2}^{-1} \frac{5}{3x^4} dx$** Para resolver esta integral, la reescribimos como una potencia negativa para aplicar la regla de integración de potencias. 1. **Reescribimos la función:** $$\int_{-2}^{-1} \frac{5}{3} x^{-4} dx$$ 2. **Calculamos la integral indefinida:** $$\int \frac{5}{3} x^{-4} dx = \frac{5}{3} \cdot \frac{x^{-3}}{-3} = -\frac{5}{9x^3}$$ 3. **Aplicamos la Regla de Barrow:** $$\left[ -\frac{5}{9x^3} \right]_{-2}^{-1} = \left( -\frac{5}{9(-1)^3} \right) - \left( -\frac{5}{9(-2)^3} \right)$$ $$= \left( -\frac{5}{-9} \right) - \left( -\frac{5}{9(-8)} \right) = \frac{5}{9} - \frac{5}{72}$$ Calculamos el común denominador ($72$): $$\frac{40}{72} - \frac{5}{72} = \frac{35}{72}$$ 💡 **Tip:** Para integrar potencias, usa $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. No olvides que al aplicar Barrow restamos el valor en el límite inferior al valor en el límite superior. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\frac{35}{72}}$$

**Calcule la integral definida: $\int_{-3}^{0} \frac{e^{\frac{x}{3}}}{5} dx$** Esta es una integral de tipo exponencial casi inmediata. 1. **Preparamos la integral:** Sacamos la constante fuera. $$\frac{1}{5} \int_{-3}^{0} e^{\frac{1}{3}x} dx$$ 2. **Calculamos la primitiva:** Recordamos que $\int e^{ax} dx = \frac{1}{a} e^{ax}$. Aquí $a = 1/3$. $$\frac{1}{5} \left[ \frac{e^{\frac{x}{3}}}{1/3} \right]_{-3}^{0} = \frac{1}{5} \left[ 3 e^{\frac{x}{3}} \right]_{-3}^{0} = \left[ \frac{3}{5} e^{\frac{x}{3}} \right]_{-3}^{0}$$ 3. **Aplicamos la Regla de Barrow:** $$= \left( \frac{3}{5} e^{\frac{0}{3}} \right) - \left( \frac{3}{5} e^{\frac{-3}{3}} \right)$$ $$= \frac{3}{5} e^0 - \frac{3}{5} e^{-1} = \frac{3}{5} \cdot 1 - \frac{3}{5e} = \frac{3}{5} \left( 1 - \frac{1}{e} \right)$$ También se puede expresar como $\frac{3e - 3}{5e}$. 💡 **Tip:** Recuerda que $e^0 = 1$ y que $e^{-1} = 1/e$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\frac{3}{5} \left( 1 - \frac{1}{e} \right)}$$