Estudio de una función a trozos: continuidad, derivabilidad y asíntotas

**a) (1 punto) Estudie la continuidad de $f$. Si la función no es continua en algún punto, indique el tipo de discontinuidad que presenta.** Para estudiar la continuidad, analizamos cada rama de la función por separado y luego el punto de unión entre ellas. 1. **Primer tramo ($x < 1$):** La función $f_1(x) = x^3 + 2x^2 - 3$ es una función polinómica. Las funciones polinómicas son continuas en todo el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$. Por tanto, $f(x)$ es continua en $(-\infty, 1)$. 2. **Segundo tramo ($x > 1$):** La función $f_2(x) = 1 + \frac{1}{x - 2}$ es una función racional. Estas funciones son continuas en todo su dominio, excepto donde el denominador se anula. $$x - 2 = 0 \implies x = 2$$ Como $x=2$ pertenece al intervalo $(1, +\infty)$, la función presenta un problema de continuidad en ese punto. 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea continua en un punto, deben existir los límites laterales y coincidir con el valor de la función en dicho punto.

Analizamos qué ocurre en el punto de unión $x = 1$ calculando los límites laterales y el valor de la función: - **Valor de la función:** $$f(1) = 1^3 + 2(1)^2 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$$ - **Límite por la izquierda ($x \to 1^-$):** $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} (x^3 + 2x^2 - 3) = 0$$ - **Límite por la derecha ($x \to 1^+$):** $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} \left(1 + \frac{1}{x - 2}\right) = 1 + \frac{1}{1 - 2} = 1 - 1 = 0$$ Como $f(1) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0$, la función **es continua en $x = 1$**.

Analizamos el punto $x = 2$, que se encuentra en la segunda rama: $$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \left(1 + \frac{1}{x - 2}\right) = 1 + \frac{1}{0} = \infty$$ Al ser el límite infinito, la función presenta una discontinuidad inevitable. ✅ **Resultado (Apartado a):** La función es continua en $\mathbb{R} \setminus \{2\}$. En **$x = 2$ presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito** (o discontinuidad asintótica). $$\boxed{\text{Continua en } \mathbb{R} \setminus \{2\}. \text{ Discontinuidad de salto infinito en } x=2}$$

**b) (0.75 puntos) Estudie la derivabilidad de $f$.** Primero, la función no puede ser derivable donde no es continua. Por tanto, ya sabemos que **no es derivable en $x = 2$**. Para el resto de puntos, calculamos la función derivada en las ramas abiertas: $$f'(x) = \begin{cases} 3x^2 + 4x & \text{si } x < 1 \\ -\frac{1}{(x - 2)^2} & \text{si } x > 1, x \neq 2 \end{cases}$$ Ahora estudiamos la derivabilidad en el punto de unión $x = 1$ comparando las derivadas laterales: - **Derivada por la izquierda:** $$f'(1^-) = 3(1)^2 + 4(1) = 3 + 4 = 7$$ - **Derivada por la derecha:** $$f'(1^+) = -\frac{1}{(1 - 2)^2} = -\frac{1}{(-1)^2} = -1$$ Como $f'(1^-) \neq f'(1^+)$, la función **no es derivable en $x = 1$**. Geométricamente, hay un punto anguloso. ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{\text{Derivable en } \mathbb{R} \setminus \{1, 2\}}$$

**c) (0.75 puntos) Determine las asíntotas de $f$.** **Asíntotas Verticales (AV):** Buscamos valores de $x$ donde la función tienda a infinito. Como vimos en el apartado (a), esto ocurre en $x = 2$: $$\lim_{x \to 2^-} \left(1 + \frac{1}{x - 2}\right) = -\infty; \quad \lim_{x \to 2^+} \left(1 + \frac{1}{x - 2}\right) = +\infty$$ Por tanto, existe una **asíntota vertical en $x = 2$**. 💡 **Tip:** No hay más candidatos a AV porque el dominio de la primera rama es todo $\mathbb{R}$ y el de la segunda rama solo excluye el $x=2$.

**Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos los límites en el infinito: - **En $-\infty$ (rama 1):** $$\lim_{x \to -\infty} (x^3 + 2x^2 - 3) = -\infty$$ No hay AH en $-\infty$. Al ser un polinomio de grado 3, tampoco habrá AO (oblicua) porque el grado es mayor que 2. - **En $+\infty$ (rama 2):** $$\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x - 2}\right) = 1 + 0 = 1$$ Existe una **asíntota horizontal en $y = 1$** cuando $x \to +\infty$. 💡 **Tip:** Si existe asíntota horizontal en un extremo del infinito, no puede existir asíntota oblicua en ese mismo extremo. ✅ **Resultado (Apartado c):** $$\boxed{\text{AV: } x = 2; \quad \text{AH: } y = 1 \text{ (solo para } x \to +\infty\text{)}; \quad \text{AO: No hay}}$$