Probabilidad total y Teorema de Bayes en transporte

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos que intervienen: * $A$: El transporte se realiza con un camión de tipo $A$. * $B$: El transporte se realiza con un camión de tipo $B$. * $C$: El transporte se realiza con un camión de tipo $C$. * $I$: El transporte sufre una incidencia. * $\bar{I}$: El transporte no sufre ninguna incidencia. Extraemos los datos del enunciado: * $P(A) = 0.30$ * $P(B) = 0.20$ * $P(C) = 1 - (0.30 + 0.20) = 0.50$ Las probabilidades condicionadas de sufrir una incidencia según el tipo de camión son: * $P(I|A) = 0.02 \implies P(\bar{I}|A) = 1 - 0.02 = 0.98$ * $P(I|B) = 0.01 \implies P(\bar{I}|B) = 1 - 0.01 = 0.99$ * $P(I|C) = 0.05 \implies P(\bar{I}|C) = 1 - 0.05 = 0.95$ Representamos esta información en un árbol de probabilidad:

**a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que no haya sufrido ningún tipo de incidencia.** Para calcular la probabilidad de que no haya incidencia, $P(\bar{I})$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sumamos las probabilidades de no tener incidencia en cada tipo de camión: $$P(\bar{I}) = P(A) \cdot P(\bar{I}|A) + P(B) \cdot P(\bar{I}|B) + P(C) \cdot P(\bar{I}|C)$$ Sustituimos los valores obtenidos en el paso anterior: $$P(\bar{I}) = 0.30 \cdot 0.98 + 0.20 \cdot 0.99 + 0.50 \cdot 0.95$$ Realizamos las operaciones: $$P(\bar{I}) = 0.294 + 0.198 + 0.475 = 0.967$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que llevan a un resultado final es la probabilidad total de ese suceso. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{I}) = 0.967}$$

**b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que lo haya realizado un camión de tipo $C$ si se sabe que sufrió algún tipo de incidencia.** Nos piden la probabilidad condicionada $P(C|I)$. Para ello aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(C|I) = \frac{P(C \cap I)}{P(I)} = \frac{P(C) \cdot P(I|C)}{P(I)}$$ Primero, calculamos la probabilidad de sufrir una incidencia, $P(I)$. Podemos hacerlo de dos formas: 1. Como el suceso contrario a no sufrir incidencia: $P(I) = 1 - P(\bar{I}) = 1 - 0.967 = 0.033$. 2. Aplicando probabilidad total: $P(I) = 0.30 \cdot 0.02 + 0.20 \cdot 0.01 + 0.50 \cdot 0.05 = 0.006 + 0.002 + 0.025 = 0.033$. Ahora, aplicamos Bayes: $$P(C|I) = \frac{0.50 \cdot 0.05}{0.033} = \frac{0.025}{0.033}$$ Simplificando la fracción o calculando el decimal: $$P(C|I) = \frac{25}{33} \approx 0.7576$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la probabilidad condicionada. Si conocemos $P(I|C)$, podemos hallar $P(C|I)$ usando la probabilidad total en el denominador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C|I) = \frac{25}{33} \approx 0.7576}$$

**c) (0.5 puntos) Si además se conoce que el $40 \%$ de las incidencias sufridas por los camiones de tipo $A$ fueron debidas a la lluvia, calcule la probabilidad de que el transporte haya sido realizado por un camión de tipo $A$, haya sufrido una incidencia y también esta sea debida a la lluvia.** Definimos el nuevo suceso $LL$: La incidencia es debida a la lluvia. El enunciado nos da una probabilidad condicionada: de las incidencias en camiones $A$, el $40\%$ son por lluvia. Esto se traduce como: $$P(LL | A \cap I) = 0.40$$ Nos piden la probabilidad de la intersección de los tres sucesos: $P(A \cap I \cap LL)$. Usando la regla del producto (probabilidad compuesta): $$P(A \cap I \cap LL) = P(A) \cdot P(I|A) \cdot P(LL | A \cap I)$$ Sustituimos los valores: $$P(A \cap I \cap LL) = 0.30 \cdot 0.02 \cdot 0.40$$ Realizamos la operación: $$P(A \cap I \cap LL) = 0.006 \cdot 0.40 = 0.0024$$ 💡 **Tip:** Para calcular la probabilidad de que ocurran varios sucesos a la vez (intersección), multiplicamos las probabilidades de cada paso en la cadena de sucesos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap I \cap LL) = 0.0024}$$