Probabilidad condicionada y teorema de la probabilidad total

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos principales según el enunciado: - $A$: El caramelo es azucarado. - $\bar{A}$: El caramelo no es azucarado. - $N$: El caramelo es de naranja. - $L$: El caramelo es de limón. - $M$: El caramelo es de menta. Del enunciado extraemos las siguientes probabilidades: - $P(A) = 0.60$ (por tanto, $P(\bar{A}) = 1 - 0.60 = 0.40$). - $P(L|A) = 0.25$ (caramelos de limón dentro de los azucarados). - $P(N|\bar{A}) = 0.40$ (caramelos de naranja dentro de los no azucarados). - $P(L|\bar{A}) = 0.30$ (caramelos de limón dentro de los no azucarados). - $P(N) = 0.40$ (probabilidad total de que un caramelo sea de naranja). Podemos calcular la probabilidad de menta en los no azucarados sabiendo que el resto lo son: $$P(M|\bar{A}) = 1 - P(N|\bar{A}) - P(L|\bar{A}) = 1 - 0.40 - 0.30 = 0.30$$ 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad con varias etapas, es fundamental identificar qué datos son probabilidades simples y cuáles son condicionadas (palabras como "de estos", "sabiendo que" o "entre los..." indican condición).

A continuación, representamos la situación en un árbol de probabilidad. Algunos datos todavía son desconocidos y los calcularemos en los siguientes pasos.

**a) (1.5 puntos) Calcule la probabilidad de que sea de naranja sabiendo que es azucarado.** Nos piden hallar $P(N|A)$. Para ello, utilizaremos el **Teorema de la Probabilidad Total** aplicado al suceso $N$: $$P(N) = P(A) \cdot P(N|A) + P(\bar{A}) \cdot P(N|\bar{A})$$ Conocemos casi todos los datos: - $P(N) = 0.40$ - $P(A) = 0.60$ - $P(\bar{A}) = 0.40$ - $P(N|\bar{A}) = 0.40$ Sustituimos en la fórmula para despejar la incógnita $P(N|A)$: $$0.40 = 0.60 \cdot P(N|A) + 0.40 \cdot 0.40$$ $$0.40 = 0.60 \cdot P(N|A) + 0.16$$ Despejamos: $$0.40 - 0.16 = 0.60 \cdot P(N|A)$$ $$0.24 = 0.60 \cdot P(N|A)$$ $$P(N|A) = \frac{0.24}{0.60} = 0.4$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(N|A) = 0.4}$$ *Nota: La probabilidad de que sea de naranja sabiendo que es azucarado es del $40 \%$.*

**b) (1 punto) Razone si es más probable que sea de sabor a frutas o a menta.** Para responder, compararemos la probabilidad de ser sabor fruta ($N \cup L$) con la de ser de menta ($M$). Dado que un caramelo o es de fruta o es de menta, se cumple que $P(\text{fruta}) + P(M) = 1$. Calculamos primero $P(M)$. Usamos de nuevo el Teorema de la Probabilidad Total: $$P(M) = P(A) \cdot P(M|A) + P(\bar{A}) \cdot P(M|\bar{A})$$ Necesitamos $P(M|A)$. Como dentro de los azucarados las opciones son Naranja, Limón o Menta: $$P(M|A) = 1 - P(N|A) - P(L|A) = 1 - 0.40 - 0.25 = 0.35$$ Ahora calculamos $P(M)$: $$P(M) = 0.60 \cdot 0.35 + 0.40 \cdot 0.30$$ $$P(M) = 0.21 + 0.12 = 0.33$$ Ahora, la probabilidad de que sea de fruta (naranja o limón) es: $$P(\text{fruta}) = 1 - P(M) = 1 - 0.33 = 0.67$$ Comparando los resultados: - $P(\text{fruta}) = 0.67$ - $P(\text{menta}) = 0.33$ Como $0.67 \gt 0.33$, es más probable que sea de sabor a frutas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Es más probable que sea de sabor a frutas (0.67 vs 0.33)}}$$