Muestreo aleatorio e Inferencia para la Proporción

**a) (1.25 puntos) Utilizando los números naturales del 1 al 6, ¿cuántas muestras de tamaño 2 pueden formarse aplicando un muestreo aleatorio simple? Si se elige una de estas muestras al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la media de los números obtenidos sea como máximo 2?** En un muestreo aleatorio simple (MAS) de tamaño $n$ sobre una población de tamaño $N$, cada elemento se elige al azar y con reposición (los elementos pueden repetirse y el orden importa). En este caso: - Población $N = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \implies N = 6$ - Tamaño de la muestra $n = 2$ El número total de muestras posibles viene dado por variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 2 en 2: $$VR_{6,2} = 6^2 = 36$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en el muestreo aleatorio simple los elementos se seleccionan uno a uno y se devuelven a la población, por lo que el número total de muestras de tamaño $n$ es $N^n$. ✅ **Número total de muestras:** $$\boxed{36 \text{ muestras}}$$

Sea $\bar{X}$ la media de la muestra formada por los números $(x_1, x_2)$. Se nos pide la probabilidad $P(\bar{X} \le 2)$. Como $\bar{X} = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$, la condición $\bar{X} \le 2$ es equivalente a que la suma de los componentes sea $x_1 + x_2 \le 4$. Identificamos los casos favorables (muestras cuya suma es menor o igual a 4): - Suma = 2: $(1, 1)$ - Suma = 3: $(1, 2), (2, 1)$ - Suma = 4: $(1, 3), (3, 1), (2, 2)$ Contamos los casos favorables: **6 casos**. Aplicando la regla de Laplace: $$P(\bar{X} \le 2) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.1667$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \le 2) = \frac{1}{6} \approx 0.1667}$$

**b) (1.25 puntos) Se ha diseñado una encuesta para estimar qué proporción de adolescentes de una zona están subscritos a una determinada red social. ¿Qué tamaño debemos tomar para estimar dicha proporción por un intervalo de confianza al $95 \%$ con un error máximo de $0.15$?** Para calcular el tamaño muestral $n$ en la estimación de una proporción, identificamos los datos: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05$. - Error máximo admisible: $E = 0.15$. - Proporción poblacional $p$: Como no se proporciona un valor previo de la proporción, utilizaremos el caso más desfavorable, que es **$p = 0.5$** (esto maximiza el tamaño de la muestra). Calculamos el valor crítico $Z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $95 \%$: $$P(Z \le Z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.025 = 0.975$$ Consultando en la tabla de la normal $N(0, 1)$, obtenemos: $$Z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** El valor $Z_{\alpha/2} = 1.96$ es muy común para el $95 \%$. Si el problema no te da la proporción $p$, usa siempre $p = 0.5$ y $q = 1 - p = 0.5$.

La fórmula del error máximo para la proporción es: $$E = Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}}$$ Despejamos $n$: $$n = \frac{Z_{\alpha/2}^2 \cdot p \cdot q}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{1.96^2 \cdot 0.5 \cdot 0.5}{0.15^2}$$ $$n = \frac{3.8416 \cdot 0.25}{0.0225}$$ $$n = \frac{0.9604}{0.0225} \approx 42.684$$ Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero y queremos garantizar que el error sea **como máximo** $0.15$, debemos redondear siempre al entero superior. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 43 \text{ adolescentes}}$$