Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1,25 puntos) Obtenga el intervalo de confianza del $93 \%$ para el gasto medio mensual en electricidad por vivienda.** Primero, extraemos los datos proporcionados por el enunciado para la variable $X$, que representa el gasto mensual en electricidad: - La población sigue una distribución Normal: $X \sim N(\mu, \sigma)$. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 18.25$. - Tamaño de la muestra: $n = 361$. - Media muestral: $\bar{x} = 97$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.93$. 💡 **Tip:** En los problemas de inferencia para la media, si conocemos la desviación típica de la población ($\sigma$), utilizaremos la distribución Normal para calcular el intervalo.

Para un nivel de confianza del $93 \%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(-z_{\alpha/2} \le Z \le z_{\alpha/2}) = 0.93$. 1. Calculamos $\alpha$: $1 - \alpha = 0.93 \implies \alpha = 0.07$. 2. Dividimos el error en dos colas: $\alpha/2 = 0.035$. 3. Buscamos el valor en la tabla de la Normal estándar $N(0, 1)$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.035 = 0.965.$$ Consultando la tabla: - Para una probabilidad de $0.9649$, el valor es $1.81$. - Para una probabilidad de $0.9656$, el valor es $1.82$. El valor más cercano es $0.9649$, por lo que tomamos: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.81}$$ 💡 **Tip:** Si el valor buscado no está exacto en la tabla, elegimos el más cercano o realizamos una interpolación lineal.

La fórmula del error máximo admisible es $E = z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Sustituimos los valores: $$E = 1.81 \cdot \frac{18.25}{\sqrt{361}} = 1.81 \cdot \frac{18.25}{19} = 1.81 \cdot 0.960526 \approx 1.73855$$ El intervalo de confianza se define como $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$I.C. = (97 - 1.7386, 97 + 1.7386) = (95.2614, 98.7386)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C._{93\%} = (95.2614, 98.7386)}$$

**b) (1.25 puntos) ¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener una muestra para que el error cometido al estimar la media, con un nivel de confianza del $91 \%$, sea un tercio del error cometido en el intervalo $(95.5, 98.5)$?** Primero debemos calcular el error cometido en el intervalo proporcionado $(95.5, 98.5)$. El error es la mitad de la amplitud del intervalo: $$E_{ref} = \frac{98.5 - 95.5}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$$ El enunciado nos pide que el nuevo error sea un tercio de este valor: $$E_{nuevo} = \frac{1}{3} \cdot 1.5 = 0.5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la longitud de un intervalo de confianza es siempre $2 \cdot E$.

Para un nivel de confianza del $91 \%$: 1. $1 - \alpha = 0.91 \implies \alpha = 0.09$. 2. $\alpha/2 = 0.045$. 3. Buscamos $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.045 = 0.955$. En la tabla de la Normal estándar: - Para $1.69 \implies 0.9545$ - Para $1.70 \implies 0.9554$ Como $0.955$ está casi en el medio de ambos valores (un poco más cerca de $1.70$), podemos usar $z_{\alpha/2} = 1.70$ o el valor interpolado $1.695$. Usaremos **$1.70$** por ser el redondeo habitual. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.70}$$

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituyendo los valores del apartado b): $$n = \left( \frac{1.70 \cdot 18.25}{0.5} \right)^2 = \left( \frac{31.025}{0.5} \right)^2 = (62.05)^2 = 3850.2025$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** $0.5$, debemos redondear siempre al entero superior. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n \ge 3851 \text{ viviendas}}$$