Álgebra 2023 Andalucia
Cálculo de costes y beneficios con matrices
Una conservera fabrica latas de pisto con tomate, cebolla y pimiento siguiendo dos recetas distintas. La matriz $\begin{pmatrix} 500 & 300 & 200 \\ 600 & 100 & 300 \end{pmatrix}$ indica los gramos necesarios de cada producto para conseguir una lata de cada receta. Se dispone de dos proveedores, siendo la matriz de precios en euros por kilo de cada producto $\begin{pmatrix} 0.5 & 0.4 & 0.6 \\ 0.4 & 0.5 & 0.7 \end{pmatrix}$. Los costes de producción de cada receta en euros por lata vienen dados por la matriz $\begin{pmatrix} 0.49 & 0.49 \\ 0.52 & 0.50 \end{pmatrix}$. Los costes de transporte en euros por lata según cada proveedor vienen dados por la matriz $\begin{pmatrix} 0.02 & 0.03 \\ 0.02 & 0.03 \end{pmatrix}$. La conservera quiere obtener un beneficio de 5 céntimos por lata. Una distribuidora compra 11000 latas de la primera receta, siendo 5000 del primer proveedor, y otras 11000 de la segunda receta, siendo 6000 del primer proveedor. ¿Cuánto debe cobrar la conservera por el pedido de esta distribuidora?
Paso 1
Definición de matrices y conversión de unidades
**¿Cuánto debe cobrar la conservera por el pedido de esta distribuidora?**
Primero, organizamos la información en matrices y unificamos las unidades. La matriz de ingredientes (Recetas) está en gramos, mientras que los precios están en euros/kilo. Convertimos los gramos a kilos dividiendo por $1000$:
Matriz de Recetas ($R$) en kg/lata:
$$R = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.3 & 0.2 \\ 0.6 & 0.1 & 0.3 \end{pmatrix}$$
*(Fila 1: Receta 1; Fila 2: Receta 2 / Columnas: Tomate, Cebolla, Pimiento)*
Matriz de Precios de proveedores ($P$) en €/kg:
$$P = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.4 & 0.6 \\ 0.4 & 0.5 & 0.7 \end{pmatrix}$$
*(Fila 1: Proveedor 1; Fila 2: Proveedor 2 / Columnas: Tomate, Cebolla, Pimiento)*
💡 **Tip:** Es fundamental trabajar siempre en las mismas unidades. Como el precio viene dado por kilo, pasamos los gramos de los ingredientes a kilos: $1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}$.
Paso 2
Cálculo del coste de los ingredientes
Para obtener el coste de los ingredientes por cada receta y cada proveedor, multiplicamos la matriz de recetas ($R$) por la traspuesta de la matriz de precios ($P^t$):
$$C_{ing} = R \cdot P^t = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.3 & 0.2 \\ 0.6 & 0.1 & 0.3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0.5 & 0.4 \\ 0.4 & 0.5 \\ 0.6 & 0.7 \end{pmatrix}$$
Realizamos las operaciones:
- Receta 1, Proveedor 1: $(0.5 \cdot 0.5) + (0.3 \cdot 0.4) + (0.2 \cdot 0.6) = 0.25 + 0.12 + 0.12 = 0.49$
- Receta 1, Proveedor 2: $(0.5 \cdot 0.4) + (0.3 \cdot 0.5) + (0.2 \cdot 0.7) = 0.20 + 0.15 + 0.14 = 0.49$
- Receta 2, Proveedor 1: $(0.6 \cdot 0.5) + (0.1 \cdot 0.4) + (0.3 \cdot 0.6) = 0.30 + 0.04 + 0.18 = 0.52$
- Receta 2, Proveedor 2: $(0.6 \cdot 0.4) + (0.1 \cdot 0.5) + (0.3 \cdot 0.7) = 0.24 + 0.05 + 0.21 = 0.50$
$$C_{ing} = \begin{pmatrix} 0.49 & 0.49 \\ 0.52 & 0.50 \end{pmatrix}$$
Paso 3
Cálculo del coste total por lata
Sumamos el coste de ingredientes ($C_{ing}$), el coste de producción ($C_{prod}$) y el coste de transporte ($C_{trans}$) para obtener el coste total por lata:
$$C_{total} = C_{ing} + C_{prod} + C_{trans}$$
$$C_{total} = \begin{pmatrix} 0.49 & 0.49 \\ 0.52 & 0.50 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0.49 & 0.49 \\ 0.52 & 0.50 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0.02 & 0.03 \\ 0.02 & 0.03 \end{pmatrix}$$
Operamos elemento a elemento:
$$C_{total} = \begin{pmatrix} 0.49 + 0.49 + 0.02 & 0.49 + 0.49 + 0.03 \\ 0.52 + 0.52 + 0.02 & 0.50 + 0.50 + 0.03 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.00 & 1.01 \\ 1.06 & 1.03 \end{pmatrix}$$
En esta matriz, las filas representan las recetas y las columnas los proveedores.
Paso 4
Determinación del precio de venta por lata
La empresa quiere ganar $5$ céntimos ($0.05$ €) de beneficio por lata. Sumamos este margen a cada elemento de la matriz de costes totales:
$$Precio = C_{total} + 0.05 = \begin{pmatrix} 1.00 + 0.05 & 1.01 + 0.05 \\ 1.06 + 0.05 & 1.03 + 0.05 \end{pmatrix}$$
$$Precio = \begin{pmatrix} 1.05 & 1.06 \\ 1.11 & 1.08 \end{pmatrix}$$
Esto significa que:
- Receta 1: Se cobra $1.05$ € (Proveedor 1) o $1.06$ € (Proveedor 2).
- Receta 2: Se cobra $1.11$ € (Proveedor 1) o $1.08$ € (Proveedor 2).
Paso 5
Cálculo del cobro total del pedido
Definimos la matriz de cantidades del pedido ($Q$):
- Receta 1: $11000$ latas ($5000$ del P1 y $11000 - 5000 = 6000$ del P2).
- Receta 2: $11000$ latas ($6000$ del P1 y $11000 - 6000 = 5000$ del P2).
$$Q = \begin{pmatrix} 5000 & 6000 \\ 6000 & 5000 \end{pmatrix}$$
El cobro total será la suma de los productos de cada cantidad por su precio correspondiente:
$$Total = (5000 \cdot 1.05) + (6000 \cdot 1.06) + (6000 \cdot 1.11) + (5000 \cdot 1.08)$$
$$Total = 5250 + 6360 + 6660 + 5400$$
$$Total = 23670$$
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{23670 \text{ euros}}$$