Optimización de beneficios en transporte marítimo (Programación Lineal)

En primer lugar, debemos identificar qué magnitudes queremos calcular. Definimos las variables de la siguiente manera: - $x$: número de viajes realizados por el barco $B_1$. - $y$: número de viajes realizados por el barco $B_2$. La función que queremos maximizar es el beneficio total ($B$), que depende del número de viajes de cada barco. Según los datos del enunciado: $$B(x, y) = 15000x + 17000y$$ 💡 **Tip:** La función objetivo siempre representa la cantidad que queremos hacer máxima (beneficios) o mínima (costes).

A partir del enunciado, traducimos las condiciones a inecuaciones matemáticas: 1. El barco $B_1$ no puede realizar más de 14 viajes: $x \le 14$. 2. $B_1$ debe realizar tantos viajes o más que $B_2$: $x \ge y$. 3. Entre los dos barcos realizan al menos 10 viajes: $x + y \ge 10$. 4. Entre los dos barcos realizan como mucho 24 viajes: $x + y \le 24$. 5. El número de viajes no puede ser negativo: $x \ge 0, y \ge 0$. El sistema de inecuaciones que define la región factible es: $$\begin{cases} x \le 14 \\ x - y \ge 0 \\ x + y \ge 10 \\ x + y \le 24 \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en problemas de contexto real, las variables que representan unidades físicas (como viajes) suelen ser siempre no negativas ($x, y \ge 0$).

Representamos las rectas asociadas a las restricciones para delimitar la región factible. Los vértices de esta región se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se cortan: - **Vértice A:** Intersección de $x = 14$ y $x + y = 24$. $14 + y = 24 \implies y = 10 \implies \mathbf{A(14, 10)}$ - **Vértice B:** Intersección de $y = x$ y $x + y = 24$. $x + x = 24 \implies 2x = 24 \implies x = 12 \implies \mathbf{B(12, 12)}$ - **Vértice C:** Intersección de $y = x$ y $x + y = 10$. $x + x = 10 \implies 2x = 10 \implies x = 5 \implies \mathbf{C(5, 5)}$ - **Vértice D:** Intersección de $x + y = 10$ y el eje X ($y = 0$). $x + 0 = 10 \implies x = 10 \implies \mathbf{D(10, 0)}$ - **Vértice E:** Intersección de $x = 14$ y el eje X ($y = 0$). $x = 14, y = 0 \implies \mathbf{E(14, 0)}$ Podemos visualizar la región factible en el siguiente interactivo:

Para hallar el beneficio máximo, evaluamos la función objetivo $B(x, y) = 15000x + 17000y$ en cada uno de los vértices de la región factible: - $B(14, 10) = 15000(14) + 17000(10) = 210000 + 170000 = 380000 €$ - $B(12, 12) = 15000(12) + 17000(12) = 180000 + 204000 = \mathbf{384000 €}$ - $B(5, 5) = 15000(5) + 17000(5) = 75000 + 85000 = 160000 €$ - $B(10, 0) = 15000(10) + 17000(0) = 150000 €$ - $B(14, 0) = 15000(14) + 17000(0) = 210000 €$ Comparando los resultados, observamos que el valor máximo se alcanza en el punto $(12, 12)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{El beneficio máximo es de } 384000 € \text{ realizando 12 viajes con cada barco.}}$$