Cálculo de derivadas y área entre curvas

**a) (1.5 puntos) Calcule las derivadas de las siguientes funciones: $f(x) = (-7 + x^2)^3 \cdot e^{5-x}$** Para derivar $f(x)$ utilizaremos la regla del producto: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$. Identificamos las partes: - $u(x) = (-7 + x^2)^3 \implies u'(x) = 3(-7 + x^2)^2 \cdot (2x) = 6x(-7 + x^2)^2$ (aplicando la regla de la cadena). - $v(x) = e^{5-x} \implies v'(x) = e^{5-x} \cdot (-1) = -e^{5-x}$. Ahora aplicamos la fórmula: $$f'(x) = [6x(-7 + x^2)^2] \cdot e^{5-x} + [(-7 + x^2)^3] \cdot (-e^{5-x})$$ Podemos simplificar sacando factor común $(-7 + x^2)^2 \cdot e^{5-x}$: $$f'(x) = (-7 + x^2)^2 \cdot e^{5-x} \cdot [6x - (-7 + x^2)]$$ $$f'(x) = (-7 + x^2)^2 \cdot e^{5-x} \cdot (-x^2 + 6x + 7)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{u(x)}$ es $e^{u(x)} \cdot u'(x)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(x) = (-7 + x^2)^2 \cdot e^{5-x} \cdot (-x^2 + 6x + 7)}$$

**Calcule la derivada de $g(x) = \dfrac{\ln(x^4 - 2x^2)}{8 - x^3}$** Utilizamos la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Identificamos las partes: - $u(x) = \ln(x^4 - 2x^2) \implies u'(x) = \frac{4x^3 - 4x}{x^4 - 2x^2}$. - $v(x) = 8 - x^3 \implies v'(x) = -3x^2$. Sustituimos en la regla: $$g'(x) = \frac{\left(\frac{4x^3 - 4x}{x^4 - 2x^2}\right)(8 - x^3) - \ln(x^4 - 2x^2)(-3x^2)}{(8 - x^3)^2}$$ Simplificamos la expresión del numerador: $$g'(x) = \frac{\frac{(4x^3 - 4x)(8 - x^3)}{x^4 - 2x^2} + 3x^2 \ln(x^4 - 2x^2)}{(8 - x^3)^2}$$ 💡 **Tip:** La derivada de $\ln(u)$ es $\frac{u'}{u}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{g'(x) = \frac{\frac{(4x^3 - 4x)(8 - x^3)}{x^4 - 2x^2} + 3x^2 \ln(x^4 - 2x^2)}{(8 - x^3)^2}}$$

**b) (1 punto) Represente gráficamente la región acotada comprendida entre la recta $y = -2x + 6$ y la parábola $y = -x^2 + 2x + 3$ y calcule su área.** Primero buscamos los puntos de intersección igualando ambas funciones: $$-2x + 6 = -x^2 + 2x + 3$$ Pasamos todo a un miembro para formar una ecuación de segundo grado: $$x^2 - 4x + 3 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$$ Obtenemos los valores: - $x_1 = 1$ - $x_2 = 3$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte nos darán los límites de integración para el cálculo del área. ✅ **Puntos de corte:** $$\boxed{x = 1, \quad x = 3}$$

Para representar la región, observamos que: 1. La recta $y = -2x + 6$ pasa por $(1, 4)$ y $(3, 0)$. 2. La parábola $y = -x^2 + 2x + 3$ tiene el vértice en $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{-2} = 1$. En $x=1$, $y=4$ (coincide con el punto de corte). Abre hacia abajo ($a < 0$). En el intervalo $(1, 3)$, la parábola está por encima de la recta. Por ejemplo, en $x=2$: - Parábola: $y = -(2)^2 + 2(2) + 3 = 3$. - Recta: $y = -2(2) + 6 = 2$. Como $3 \gt 2$, la parábola es la función superior.

El área $A$ es la integral definida entre los puntos de corte de la función superior menos la inferior: $$A = \int_{1}^{3} [(-x^2 + 2x + 3) - (-2x + 6)] \, dx$$ Simplificamos el integrando: $$A = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (-x^2 + 4x - 3) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} - 3x \right] = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left( -\frac{3^3}{3} + 2(3)^2 - 3(3) \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 2(1)^2 - 3(1) \right)$$ $$A = (-9 + 18 - 9) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right)$$ $$A = 0 - \left( -\frac{1}{3} - 1 \right) = 0 - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{4}{3} \approx 1.33 \text{ u}^2}$$