Estudio de temperatura y continuidad en un equipo de refrigeración

**a) (0.75 puntos) Estudie la continuidad de $f$.** Para estudiar la continuidad de la función $f(t)$ en el intervalo $[0, 24]$, analizamos primero la naturaleza de cada una de sus ramas: 1. En el intervalo $[0, 1)$, $f(t) = -9$. Es una función constante, por lo que es **continua**. 2. En el intervalo $(1, 11)$, $f(t) = -t^2 + 12t - 20$. Es una función polinómica de segundo grado, por lo que es **continua** en todo su dominio real. 3. En el intervalo $(11, 24]$, $f(t) = -9$. Es una función constante, por lo que es **continua**. Ahora debemos estudiar qué ocurre en los puntos de salto entre ramas: $t = 1$ y $t = 11$. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto $a$ si el valor de la función coincide con sus límites laterales: $f(a) = \lim_{t \to a^-} f(t) = \lim_{t \to a^+} f(t)$.

Analizamos los puntos críticos $t = 1$ y $t = 11$: **Para $t = 1$:** - $f(1) = -9$ - $\lim_{t \to 1^-} f(t) = -9$ - $\lim_{t \to 1^+} f(t) = -(1)^2 + 12(1) - 20 = -1 + 12 - 20 = -9$ Como $f(1) = \lim_{t \to 1^-} f(t) = \lim_{t \to 1^+} f(t)$, la función es **continua en $t = 1$**. **Para $t = 11$:** - $f(11) = -9$ - $\lim_{t \to 11^-} f(t) = -(11)^2 + 12(11) - 20 = -121 + 132 - 20 = -9$ - $\lim_{t \to 11^+} f(t) = -9$ Como $f(11) = \lim_{t \to 11^-} f(t) = \lim_{t \to 11^+} f(t)$, la función es **continua en $t = 11$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } f(t) \text{ es continua en todo su dominio } [0, 24]}$$

**b) (0.75 puntos) Represente gráficamente la función $f$.** Para representar $f(t)$, necesitamos analizar la parábola $y = -t^2 + 12t - 20$ en el intervalo $(1, 11)$. 1. **Vértice de la parábola:** La coordenada $t$ del vértice se calcula como $t_v = \frac{-b}{2a}$: $$t_v = \frac{-12}{2(-1)} = \frac{-12}{-2} = 6$$ Calculamos la temperatura en ese instante: $$f(6) = -(6)^2 + 12(6) - 20 = -36 + 72 - 20 = 16$$ El vértice está en **$(6, 16)$**. 2. **Puntos de corte con el eje horizontal ($f(t) = 0$):** $$-t^2 + 12t - 20 = 0 \implies t = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4(-1)(-20)}}{2(-1)} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 80}}{-2}$$ $$t = \frac{-12 \pm \sqrt{64}}{-2} = \frac{-12 \pm 8}{-2}$$ $t_1 = \frac{-4}{-2} = 2$ y $t_2 = \frac{-20}{-2} = 10$. La temperatura es $0^{\circ}C$ a las **$2$ horas y a las $10$ horas**. 3. **Extremos de la rama:** Ya sabemos por la continuidad que en $t=1$ y $t=11$, $f(t) = -9$.

A continuación se muestra la representación de la función, donde se observa la temperatura constante inicial, la subida y bajada por el fallo eléctrico (parábola) y la estabilización posterior.

**c) (0.5 puntos) Conteste razonadamente a qué hora se produjo el corte de energía y cuánto duró dicho corte.** Interpretamos que el equipo funciona correctamente cuando mantiene su temperatura nominal de $-9^{\circ}C$. El corte de energía se produce en el momento en que la temperatura empieza a subir por encima de ese valor. - Según la función, el cambio de comportamiento ocurre en **$t = 1$**. Por tanto, el corte de energía se produjo a la **1:00 horas**. - El equipo recupera su temperatura nominal de $-9^{\circ}C$ a partir de **$t = 11$**. Para calcular la duración: $$\text{Duración} = 11 - 1 = 10 \text{ horas}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El corte empezó a las 1:00 y duró 10 horas}}$$

**d) (0.5 puntos) Razone si alguno de esos productos se estropeó ese día.** **Análisis de los sueros:** Se estropean si $T \ge 20^{\circ}C$. Calculamos el valor máximo de la función $f(t)$. Como hemos visto en el apartado b), la función es una parábola cóncava hacia abajo en el intervalo del corte, y su máximo (vértice) se encuentra en el punto $(6, 16)$. Como la temperatura máxima alcanzada fue de **$16^{\circ}C$**, y $16 \lt 20$: ✅ **Resultado (sueros):** $$\boxed{\text{Los sueros NO se estropearon}}$$

**Análisis de las vacunas:** Se estropean si $T \gt 0^{\circ}C$ durante más de $6$ horas. Buscamos el intervalo de tiempo en el que la temperatura es positiva ($f(t) \gt 0$). En el apartado b) hallamos que los puntos de corte con el eje $t$ de la parábola son $t=2$ y $t=10$. Como es una parábola que abre hacia abajo, la temperatura es positiva entre esos dos valores, es decir, en el intervalo $(2, 10)$. Calculamos el tiempo transcurrido: $$\Delta t = 10 - 2 = 8 \text{ horas}$$ Dado que $8 \text{ horas} \gt 6 \text{ horas}$, las vacunas permanecieron a una temperatura crítica durante más tiempo del permitido. ✅ **Resultado (vacunas):** $$\boxed{\text{Las vacunas SÍ se estropearon}}$$