Probabilidad: Hábitos de ocio en adolescentes

En primer lugar, definimos los sucesos principales del problema basándonos en el enunciado: - $M$: El estudiante dedica su tiempo libre a enviar mensajes con el móvil. - $V$: El estudiante dedica su tiempo libre a jugar a videojuegos. Traducimos los porcentajes a probabilidades decimales: 1. El $80 \%$ envía mensajes o juega a videojuegos: $P(M \cup V) = 0.80$ 2. El $45 \%$ realiza ambas cosas: $P(M \cap V) = 0.45$ 3. El $40 \%$ no juega a videojuegos: $P(\overline{V}) = 0.40$ A partir de estos datos, podemos deducir de forma inmediata: - Probabilidad de jugar a videojuegos: $P(V) = 1 - P(\overline{V}) = 1 - 0.40 = 0.60$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Esta fórmula es fundamental para relacionar la unión y la intersección de sucesos.

Para visualizar mejor la situación y resolver todos los apartados de forma sencilla, calculamos la probabilidad de enviar mensajes, $P(M)$, usando la fórmula de la unión: $$P(M \cup V) = P(M) + P(V) - P(M \cap V)$$ $$0.80 = P(M) + 0.60 - 0.45$$ $$0.80 = P(M) + 0.15 \implies P(M) = 0.80 - 0.15 = 0.65$$ Ahora construimos la **tabla de contingencia** completando los huecos mediante restas: $$\begin{array}{c|cc|c} & V & \overline{V} & \text{Total} \\ \hline M & 0.45 & 0.20 & 0.65 \\ \overline{M} & 0.15 & 0.20 & 0.35 \\ \hline \text{Total} & 0.60 & 0.40 & 1.00 \end{array}$$ Explicación de los cálculos de la tabla: - $P(M \cap \overline{V}) = P(M) - P(M \cap V) = 0.65 - 0.45 = 0.20$ - $P(\overline{M} \cap V) = P(V) - P(M \cap V) = 0.60 - 0.45 = 0.15$ - $P(\overline{M} \cap \overline{V}) = P(\overline{V}) - P(M \cap \overline{V}) = 0.40 - 0.20 = 0.20$

**a) (1 punto) Enviar mensajes con el móvil y no jugar a videojuegos.** Este suceso se representa como la intersección de enviar mensajes ($M$) y el complementario de jugar a videojuegos ($\overline{V}$), es decir, $P(M \cap \overline{V})$. Observando la tabla de contingencia anterior: $$P(M \cap \overline{V}) = 0.20$$ También podemos calcularlo analíticamente como: $$P(M \cap \overline{V}) = P(M) - P(M \cap V) = 0.65 - 0.45 = 0.20$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M \cap \overline{V}) = 0.20}$$

**b) (0.5 puntos) Jugar a videojuegos sabiendo que no envía mensajes con el móvil.** Se trata de una **probabilidad condicionada**. Buscamos $P(V | \overline{M})$, es decir, la probabilidad de jugar a videojuegos dado que sabemos que el estudiante no envía mensajes. Utilizamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(V | \overline{M}) = \frac{P(V \cap \overline{M})}{P(\overline{M})}$$ De nuestra tabla extraemos: - $P(V \cap \overline{M}) = 0.15$ - $P(\overline{M}) = 1 - P(M) = 1 - 0.65 = 0.35$ Sustituyendo: $$P(V | \overline{M}) = \frac{0.15}{0.35} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7} \approx 0.4286$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. Siempre divides por la probabilidad de la condición (lo que va después de la barra). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(V | \overline{M}) = \frac{3}{7} \approx 0.4286}$$

**c) (0.5 puntos) Hacer solamente una de las dos cosas.** Este suceso ocurre en dos casos exclusivos: 1. Envía mensajes y no juega ($M \cap \overline{V}$) 2. No envía mensajes y juega ($\overline{M} \cap V$) La probabilidad total es la suma de ambas: $$P(\text{solo una}) = P(M \cap \overline{V}) + P(\overline{M} \cap V)$$ Consultamos los valores en la tabla: - $P(M \cap \overline{V}) = 0.20$ - $P(\overline{M} \cap V) = 0.15$ Sumamos: $$P(\text{solo una}) = 0.20 + 0.15 = 0.35$$ Alternativamente, se puede calcular como la probabilidad de la unión menos la de la intersección: $P(M \cup V) - P(M \cap V) = 0.80 - 0.45 = 0.35$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{solo una}) = 0.35}$$

**d) (0.5 puntos) No hacer ninguna de las dos cosas.** No hacer ninguna de las dos cosas es el suceso contrario a hacer al menos una de ellas (la unión). $$P(\overline{M} \cap \overline{V}) = P(\overline{M \cup V})$$ Utilizamos la propiedad del suceso contrario: $$P(\overline{M \cup V}) = 1 - P(M \cup V)$$ Como el enunciado nos dice que $P(M \cup V) = 0.80$: $$P(\overline{M} \cap \overline{V}) = 1 - 0.80 = 0.20$$ Este valor coincide con el dato calculado en nuestra tabla de contingencia en el paso 2. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\overline{M} \cap \overline{V}) = 0.20}$$