Probabilidad y Estadística 2023 Andalucia
Probabilidad total y Teorema de Bayes en producción industrial
Un componente electrónico se produce en dos fábricas, $A$ y $B$. Se exporta el $40 \%$ de los componentes producidos en $A$ y la cuarta parte de los producidos en $B$, mientras que el resto es para consumo nacional. Además, el $37 \%$ de todos los componentes producidos es exportado. Si se elige un componente electrónico al azar, halle la probabilidad de que:
a) (1.5 puntos) Se haya producido en la fábrica $A$.
b) (1 punto) Se haya producido en la fábrica $A$ sabiendo que no es exportado.
Paso 1
Definición de sucesos y esquema del problema
**a) (1.5 puntos) Se haya producido en la fábrica $A$.**
En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema:
- $A$: El componente se produce en la fábrica $A$.
- $B$: El componente se produce en la fábrica $B$.
- $E$: El componente se exporta.
- $\bar{E}$: El componente no se exporta (consumo nacional).
Los datos que nos proporciona el enunciado son:
- $P(E|A) = 0.40$ (se exporta el $40\%$ de $A$).
- $P(E|B) = 1/4 = 0.25$ (se exporta la cuarta parte de $B$).
- $P(E) = 0.37$ (probabilidad total de exportación).
Como solo hay dos fábricas, sabemos que $P(A) + P(B) = 1$. Llamaremos $x$ a la probabilidad de que se produzca en $A$, es decir, $P(A) = x$. Por tanto, $P(B) = 1 - x$.
Podemos representar esta situación en un árbol de probabilidad:
💡 **Tip:** Un árbol de probabilidad ayuda a visualizar que la suma de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de la fábrica A
Para hallar $P(A)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total** para el suceso exportación $E$:
$$P(E) = P(A) \cdot P(E|A) + P(B) \cdot P(E|B)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$0.37 = x \cdot 0.40 + (1 - x) \cdot 0.25$$
Resolvemos la ecuación de primer grado:
$$0.37 = 0.40x + 0.25 - 0.25x$$
$$0.37 - 0.25 = 0.40x - 0.25x$$
$$0.12 = 0.15x$$
$$x = \frac{0.12}{0.15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0.8$$
Por tanto, la probabilidad de que el componente proceda de la fábrica $A$ es $0.8$ (un $80\%$).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A) = 0.8}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Bayes)
**b) (1 punto) Se haya producido en la fábrica $A$ sabiendo que no es exportado.**
Se nos pide calcular la probabilidad condicionada $P(A|\bar{E})$. Para ello, aplicamos la definición de probabilidad condicionada:
$$P(A|\bar{E}) = \frac{P(A \cap \bar{E})}{P(\bar{E})}$$
Primero, calculamos el denominador $P(\bar{E})$. Sabemos que es el suceso contrario a ser exportado:
$$P(\bar{E}) = 1 - P(E) = 1 - 0.37 = 0.63$$
Segundo, calculamos el numerador $P(A \cap \bar{E})$, que es la probabilidad de que sea de la fábrica $A$ y no se exporte:
$$P(A \cap \bar{E}) = P(A) \cdot P(\bar{E}|A)$$
Como se exporta el $40\%$ de $A$, no se exporta el $60\%$, es decir, $P(\bar{E}|A) = 0.60$:
$$P(A \cap \bar{E}) = 0.8 \cdot 0.6 = 0.48$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa para calcular la probabilidad de una 'causa' (fábrica $A$) dado un 'efecto' observado (no ser exportado).
Calculamos finalmente el valor solicitado:
$$P(A|\bar{E}) = \frac{0.48}{0.63} = \frac{48}{63} = \frac{16}{21} \approx 0.7619$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A|\bar{E}) = \frac{16}{21} \approx 0.7619}$$