Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1.25 puntos) Determine, con un nivel de confianza del $94 \%$, un intervalo de confianza para estimar la vida media de estas baterías.** Primero, extraemos la información del enunciado y unificamos todas las unidades a **meses** para poder operar: - Población: $X \sim N(\mu, \sigma)$. - Varianza poblacional: $\sigma^2 = 8 \implies \sigma = \sqrt{8} \approx 2.8284 \text{ meses}$. - Tamaño de la muestra: $n = 100$. - Media muestral ($\bar{x}$): 4 años y 2 meses. Convertimos a meses: $4 \cdot 12 + 2 = 48 + 2 = 50 \text{ meses}$. 💡 **Tip:** Es fundamental que todas las magnitudes (media, desviación y error) estén en la misma unidad. Como la varianza viene dada en meses, lo más sencillo es pasar la media muestral de años a meses. $$\boxed{\bar{x} = 50, \quad \sigma = \sqrt{8}, \quad n = 100}$$

Para un nivel de confianza del $94 \%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.94$. 2. Nivel de significación: $\alpha = 1 - 0.94 = 0.06$. 3. Calculamos $\alpha/2 = 0.03$. 4. Buscamos en la tabla de la Normal el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.03 = 0.97.$$ Buscando en la tabla $N(0,1)$, el valor más próximo a $0.97$ es $1.88$ (ya que $P(Z \le 1.88) = 0.9699$). 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, tomamos el más cercano. En este caso, $0.9699$ está a solo $0.0001$ de $0.97$. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.88}$$

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \quad \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Sustituimos los valores conocidos: - Margen de error ($E$): $$E = 1.88 \cdot \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{100}} = 1.88 \cdot \frac{2.8284}{10} = 1.88 \cdot 0.28284 \approx 0.5317$$ - Extremo inferior: $50 - 0.5317 = 49.4683$ - Extremo superior: $50 + 0.5317 = 50.5317$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (49.4683, \; 50.5317)}$$

**b) (1.25 puntos) Manteniendo el mismo nivel de confianza, determine el tamaño muestral mínimo que debe tomarse para que el error cometido al estimar la vida media de estas baterías sea menor que 0.1 meses.** Se nos pide que el error máximo admisible sea $E \lt 0.1$. Utilizamos la fórmula del error de estimación: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Como mantenemos el nivel de confianza del $94 \%$, seguimos usando $z_{\alpha/2} = 1.88$. La desviación típica sigue siendo $\sigma = \sqrt{8}$. 💡 **Tip:** En este tipo de ejercicios, el tamaño muestral $n$ siempre debe ser un número entero. Si obtenemos decimales, redondearemos siempre al entero superior para garantizar que el error sea menor que el solicitado.

Planteamos la inecuación $E \lt 0.1$: $$1.88 \cdot \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{n}} \lt 0.1$$ Despejamos $\sqrt{n}$: $$\frac{1.88 \cdot \sqrt{8}}{0.1} \lt \sqrt{n}$$ $$53.1739 \lt \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado en ambos lados para despejar $n$: $$n \gt (53.1739)^2$$ $$n \gt 2827.46$$ Como $n$ debe ser un número entero, el primer valor que cumple la condición es $2828$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n \ge 2828 \text{ baterías}}$$