Distribución Normal y Media Muestral

**a) (1.25 puntos) Si se toma una muestra aleatoria de 16 individuos que han comenzado a utilizar este tipo de gafas, ¿qué distribución sigue la media muestral del tiempo de adaptación? ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de adaptación a las gafas progresivas para dicha muestra supere los 12 días?** Primero definimos la variable aleatoria poblacional: $X$: tiempo de adaptación al uso de gafas progresivas (en días). Sabemos que $X \sim N(\mu, \sigma)$, con $\mu = 12.5$ y $\sigma = 2.5$. Cuando tomamos muestras de tamaño $n$, la distribución de la media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución Normal de parámetros: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Para $n = 16$: - Media: $\mu_{\bar{x}} = 12.5$ - Desviación típica: $\sigma_{\bar{x}} = \frac{2.5}{\sqrt{16}} = \frac{2.5}{4} = 0.625$ 💡 **Tip:** Recuerda que la desviación típica de la media muestral (error estándar) disminuye conforme aumenta el tamaño de la muestra. ✅ **Resultado (distribución):** $$\boxed{\bar{X} \sim N(12.5, \, 0.625)}$$

Queremos calcular $p(\bar{X} \gt 12)$. Para ello, tipificamos la variable utilizando $Z = \frac{\bar{X} - \mu_{\bar{x}}}{\sigma_{\bar{x}}}$: $$p(\bar{X} \gt 12) = p\left(Z \gt \frac{12 - 12.5}{0.625}\right) = p\left(Z \gt \frac{-0.5}{0.625}\right) = p(Z \gt -0.8)$$ Por simetría de la normal estándar: $$p(Z \gt -0.8) = p(Z \le 0.8)$$ Consultando la tabla de la $N(0, 1)$: $$p(Z \le 0.8) = 0.7881$$ ✅ **Resultado (probabilidad):** $$\boxed{0.7881}$$

**b) (1.25 puntos) Si la muestra elegida es de tamaño 25 ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio muestral de adaptación a las gafas progresivas diste de 12 días a lo sumo 1 día?** En este caso, el tamaño muestral cambia a $n = 25$. La nueva distribución de la media muestral será: $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{2.5}{\sqrt{25}} = \frac{2.5}{5} = 0.5$$ Por tanto, $\bar{X} \sim N(12.5, \, 0.5)$. La expresión "diste de 12 días a lo sumo 1 día" se traduce matemáticamente como la distancia entre el tiempo medio y 12 es menor o igual a 1: $$|\bar{X} - 12| \le 1$$ Esto equivale al intervalo: $$12 - 1 \le \bar{X} \le 12 + 1 \implies 11 \le \bar{X} \le 13$$ 💡 **Tip:** Cuando leas "distar a lo sumo $k$ de un valor $A$", plantea siempre el intervalo $[A-k, A+k]$.

Calculamos $p(11 \le \bar{X} \le 13)$ tipificando con la nueva desviación típica $\sigma_{\bar{x}} = 0.5$: $$p(11 \le \bar{X} \le 13) = p\left(\frac{11 - 12.5}{0.5} \le Z \le \frac{13 - 12.5}{0.5}\right)$$ $$= p\left(\frac{-1.5}{0.5} \le Z \le \frac{0.5}{0.5}\right) = p(-3 \le Z \le 1)$$ Descomponemos la probabilidad del intervalo: $$p(-3 \le Z \le 1) = p(Z \le 1) - p(Z \lt -3)$$ $$= p(Z \le 1) - [1 - p(Z \le 3)]$$ Buscamos los valores en la tabla $N(0, 1)$: - $p(Z \le 1) = 0.8413$ - $p(Z \le 3) = 0.9987$ Sustituyendo: $$0.8413 - [1 - 0.9987] = 0.8413 - 0.0013 = 0.84$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{0.84}$$