Optimización de ingresos en un estadio de fútbol

**¿cuántos aficionados locales y visitantes deben asistir para obtener el mayor importe con la venta de las entradas?** En primer lugar, definimos las variables que representan las incógnitas del problema: - $x$: número de aficionados locales. - $y$: número de aficionados visitantes. El objetivo es maximizar el importe total de las entradas. Calculamos los precios: - Precio entrada visitante: $50 €$. - Precio entrada local: Al tener un $20 \%$ de descuento, el precio es $50 \cdot (1 - 0,20) = 50 \cdot 0,80 = 40 €$. La **función objetivo** que representa el importe total $I(x, y)$ es: $$f(x, y) = 40x + 50y$$ 💡 **Tip:** Identificar correctamente las variables y la función a optimizar es el primer paso crítico en cualquier problema de programación lineal.

A partir del enunciado, extraemos las desigualdades que limitan el número de asistentes: 1. **Capacidad total:** El aforo es de 10000 personas: $x + y \le 10000$. 2. **Límite de visitantes:** Como máximo 3000 entradas visitantes: $y \le 3000$. 3. **Relación mínima local/visitante:** Por cada visitante debe haber al menos dos locales ($x \ge 2y$): $x - 2y \ge 0$. 4. **Relación máxima local/visitante:** Por cada visitante debe haber como máximo cuatro locales ($x \le 4y$): $x - 4y \le 0$. 5. **No negatividad:** El número de personas no puede ser negativo: $x \ge 0, y \ge 0$. El sistema de restricciones queda: $$\begin{cases} x + y \le 10000 \\ y \le 3000 \\ x - 2y \ge 0 \\ x - 4y \le 0 \\ x, y \ge 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Traduce siempre las frases "como mínimo" como $\ge$ y "como máximo" como $\le$.

Para encontrar los puntos donde se puede maximizar el importe, dibujamos las rectas asociadas a las restricciones y calculamos los vértices de la región encerrada por ellas. - **Recta 1 ($r_1$):** $x + y = 10000$. Pasa por $(10000, 0)$ y $(0, 10000)$. - **Recta 2 ($r_2$):** $y = 3000$. Recta horizontal. - **Recta 3 ($r_3$):** $x = 2y$. Pasa por $(0,0)$ y $(6000, 3000)$. - **Recta 4 ($r_4$):** $x = 4y$. Pasa por $(0,0)$ y $(8000, 2000)$. Los vértices de la región factible se obtienen mediante la intersección de estas rectas: - **Vértice A:** Intersección de $x=2y$ y $x=4y$. $A(0, 0)$ - **Vértice B:** Intersección de $x=2y$ y $y=3000$. $x = 2(3000) = 6000 \implies B(6000, 3000)$ - **Vértice C:** Intersección de $x+y=10000$ y $y=3000$. $x + 3000 = 10000 \implies x = 7000 \implies C(7000, 3000)$ - **Vértice D:** Intersección de $x+y=10000$ y $x=4y$. $4y + y = 10000 \implies 5y = 10000 \implies y = 2000; x = 8000 \implies D(8000, 2000)$

Evaluamos la función de beneficios $f(x, y) = 40x + 50y$ en cada uno de los vértices hallados: - $f(A) = f(0, 0) = 40(0) + 50(0) = 0 €$ - $f(B) = f(6000, 3000) = 40(6000) + 50(3000) = 240000 + 150000 = 390000 €$ - $f(C) = f(7000, 3000) = 40(7000) + 50(3000) = 280000 + 150000 = 430000 €$ - $f(D) = f(8000, 2000) = 40(8000) + 50(2000) = 320000 + 100000 = 420000 €$ 💡 **Tip:** El Teorema Fundamental de la Programación Lineal garantiza que el máximo (o mínimo) se encuentra siempre en un vértice de la región factible o en un segmento que los une.

Comparando los valores obtenidos, el mayor importe es de **$430000 €$**. Este valor se alcanza en el vértice $C(7000, 3000)$, lo que significa que deben asistir: - **7000 aficionados locales** - **3000 aficionados visitantes** ✅ **Resultado:** $$\boxed{7000 \text{ locales y } 3000 \text{ visitantes}}$$