Inversa de una matriz con parámetros y ecuaciones matriciales

**a1) (0.5 puntos) Obtenga para qué valores de $m$ la matriz $A$ tiene inversa.** Una matriz cuadrada tiene inversa si, y solo si, su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & m & -2 \\ 1 & m & 4 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (1 \cdot m \cdot 4) + (-1 \cdot -2 \cdot 1) + (0 \cdot 0 \cdot m) - [ (0 \cdot m \cdot 1) + (-1 \cdot 0 \cdot 4) + (1 \cdot -2 \cdot m) ]$$ $$|A| = 4m + 2 + 0 - [ 0 + 0 - 2m ] = 4m + 2 + 2m = 6m + 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista $A^{-1}$, el rango de la matriz debe ser máximo, lo que equivale a que su determinante no sea nulo. $$\boxed{|A| = 6m + 2}$$

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores que hacen que la matriz no tenga inversa: $$6m + 2 = 0 \implies 6m = -2 \implies m = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$$ Por tanto, la matriz $A$ tendrá inversa para cualquier valor de $m$ distinto de $-1/3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \text{ tiene inversa si } m \neq -\frac{1}{3}}$$

**a2) (1 punto) Calcule, en caso de existir, la inversa de $A$ para $m = 1$.** Primero, sustituimos $m=1$ en la matriz $A$ y comprobamos su determinante: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}$$ Como vimos antes, $|A| = 6(1) + 2 = 8$. Al ser $8 \neq 0$, la inversa existe. La fórmula de la matriz inversa es: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot Adj(A)^t$$ Calculamos los adjuntos de todos los elementos $A_{ij}$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 4 - (-2) = 6$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = -(0 - (-2)) = -2$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 - 1 = -1$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = -(-4 - 0) = 4$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 4 - 0 = 4$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - (-1)) = -2$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 2 - 0 = 2$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = -(-2 - 0) = 2$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los signos alternos al calcular los adjuntos: $\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}$.

Escribimos la matriz adjunta $Adj(A)$ y calculamos su traspuesta: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 6 & -2 & -1 \\ 4 & 4 & -2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \implies Adj(A)^t = \begin{pmatrix} 6 & 4 & 2 \\ -2 & 4 & 2 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$ Finalmente, dividimos por el determinante $|A|=8$: $$A^{-1} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 6 & 4 & 2 \\ -2 & 4 & 2 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$ Podemos expresarla con los elementos simplificados: ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 3/4 & 1/2 & 1/4 \\ -1/4 & 1/2 & 1/4 \\ -1/8 & -1/4 & 1/8 \end{pmatrix}}$$

**b) (1 punto) Despeje y simplifique $X$ en la ecuación $X \cdot B - B^2 + B = 0$, sabiendo que la matriz $B$ es invertible.** Para despejar $X$, seguimos los pasos del álgebra matricial, teniendo en cuenta que el orden de los factores importa: 1. Llevamos los términos que no contienen $X$ al otro lado de la igualdad: $$X \cdot B = B^2 - B$$ 2. Factorizamos el lado derecho. Como la matriz $B$ aparece en ambos términos por la derecha, podemos extraerla como factor común a la derecha: $$X \cdot B = (B - I) \cdot B$$ Donde $I$ es la matriz identidad de orden correspondiente. 3. Dado que el enunciado indica que $B$ es invertible, existe $B^{-1}$. Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por $B^{-1}$ por la derecha: $$(X \cdot B) \cdot B^{-1} = ((B - I) \cdot B) \cdot B^{-1}$$ 4. Aplicamos la propiedad asociativa y el hecho de que $B \cdot B^{-1} = I$: $$X \cdot (B \cdot B^{-1}) = (B - I) \cdot (B \cdot B^{-1})$$ $$X \cdot I = (B - I) \cdot I$$ $$X = B - I$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en matrices $B^2 - B$ se factoriza como $(B-I)B$ o $B(B-I)$. En este caso usamos la primera para poder simplificar la $B$ que está a la derecha de $X$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = B - I}$$