Continuidad, parámetros y cálculo de áreas

**a) (1.5 puntos) Se considera la función $f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 6 & x \le 2.5 \\ -1.4x + 7 & x \gt 2.5 \end{cases}$ con $a$ y $b$ números reales. Calcule el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la función sea continua y tenga un máximo en $x = 1$.** Para que la función sea continua en todo su dominio, el único punto conflictivo es el salto entre ramas en $x = 2.5$. Deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. $\lim_{x \to 2.5^-} f(x) = a(2.5)^2 + b(2.5) + 6 = 6.25a + 2.5b + 6$ 2. $\lim_{x \to 2.5^+} f(x) = -1.4(2.5) + 7 = -3.5 + 7 = 3.5$ 3. $f(2.5) = 6.25a + 2.5b + 6$ Igualamos para asegurar la continuidad: $$6.25a + 2.5b + 6 = 3.5 \implies 6.25a + 2.5b = -2.5$$ 💡 **Tip:** Para que una función a trozos sea continua en $x=c$, se debe cumplir que $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$.

La función tiene un máximo en $x = 1$. Como $x = 1$ pertenece al intervalo $x \le 2.5$, utilizamos la primera rama: $f_1(x) = ax^2 + bx + 6$. Para que haya un extremo relativo (máximo o mínimo) en $x = 1$, la derivada en ese punto debe ser cero: $$f_1'(x) = 2ax + b$$ $$f_1'(1) = 0 \implies 2a(1) + b = 0 \implies 2a + b = 0$$ De aquí obtenemos que **$b = -2a$**. 💡 **Tip:** Un punto crítico ocurre donde $f'(x) = 0$. Para que sea un máximo, además debe cumplirse que $f''(x) \lt 0$.

Sustituimos $b = -2a$ en la ecuación de la continuidad: $$6.25a + 2.5(-2a) = -2.5$$ $$6.25a - 5a = -2.5$$ $$1.25a = -2.5 \implies a = \frac{-2.5}{1.25} = -2$$ Calculamos $b$: $$b = -2(-2) = 4$$ Comprobamos si es un máximo usando la segunda derivada: $f''(x) = 2a = 2(-2) = -4$. Como $-4 \lt 0$, efectivamente hay un máximo en $x=1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -2, \quad b = 4}$$ La función resultante es: $$f(x)=\begin{cases} -2x^2 + 4x + 6 & \text{si } x \le 2.5,\\ -1.4x + 7 & \text{si } x \gt 2.5. \end{cases}$$

**b) (1 punto) Represente gráficamente la función $g(x) = -2x^2 + 2x + 4$ y calcule el área de la región acotada, limitada por la gráfica de dicha función y el eje de abscisas.** Para representar $g(x) = -2x^2 + 2x + 4$ (una parábola cóncava hacia abajo), buscamos los puntos de corte con el eje $X$ ($y=0$): $$-2x^2 + 2x + 4 = 0$$ Dividimos entre $-2$ para simplificar: $$x^2 - x - 2 = 0$$ Resolviendo la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Las raíces son **$x = 2$** y **$x = -1$**. El vértice se encuentra en: $$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2(-2)} = 0.5$$ $$y_v = g(0.5) = -2(0.5)^2 + 2(0.5) + 4 = -0.5 + 1 + 4 = 4.5$$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte con el eje $X$ delimitan los intervalos de integración para el cálculo de áreas.

El área solicitada es la integral definida de la función entre sus puntos de corte con el eje $X$, ya que la función es positiva en ese intervalo ($[-1, 2]$). $$A = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (-2x^2 + 2x + 4) dx = -\frac{2x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + 4x = -\frac{2x^3}{3} + x^2 + 4x$$ Aplicamos la regla de Barrow paso a paso: $$A = \left[ -\frac{2x^3}{3} + x^2 + 4x \right]_{-1}^{2}$$ $$A = \left( -\frac{2(2)^3}{3} + (2)^2 + 4(2) \right) - \left( -\frac{2(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 4(-1) \right)$$ $$A = \left( -\frac{16}{3} + 4 + 8 \right) - \left( \frac{2}{3} + 1 - 4 \right)$$ $$A = \left( \frac{20}{3} \right) - \left( -\frac{7}{3} \right) = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = \frac{27}{3} = 9$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 9 \text{ u}^2}$$