Estudio de continuidad, derivabilidad y extremos de una función a trozos

**a) (1.25 puntos) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función $f$.** Primero analizamos la continuidad en los intervalos donde la función no cambia de rama: - En el intervalo $[0, 2)$, la función es $f(x) = \frac{x^2}{3}$, que es una función polinómica y, por tanto, continua en todo su dominio. - En el intervalo $(2, +\infty)$, la función es $f(x) = \frac{4}{x + 1}$, que es una función racional. Su único punto de discontinuidad sería $x = -1$ (donde el denominador se anula), pero como $-1$ no pertenece al intervalo $(2, +\infty)$, la función es continua en este tramo. 💡 **Tip:** Recuerda que las funciones polinómicas son siempre continuas y las racionales lo son en todos los puntos que no anulen el denominador.

Para que la función sea continua en $x = 2$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en ese punto: 1. Valor de la función: $f(2) = \frac{2^2}{3} = \frac{4}{3}$. 2. Límite por la izquierda ($x \to 2^-$): $\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2}{3} = \frac{4}{3}$. 3. Límite por la derecha ($x \to 2^+$): $\lim_{x \to 2^+} \frac{4}{x + 1} = \frac{4}{2 + 1} = \frac{4}{3}$. Como $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = \frac{4}{3}$, la función es **continua en $x = 2$**. ✅ **Resultado (continuidad):** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en todo su dominio } [0, +\infty)}$$

Calculamos la derivada de la función en cada rama para los puntos $x \neq 2$: $$f'(x) = \begin{cases} \frac{2x}{3} & \text{si } 0 < x < 2 \\ -\frac{4}{(x + 1)^2} & \text{si } x > 2 \end{cases}$$ - En $(0, 2)$, la derivada existe por ser un polinomio. - En $(2, +\infty)$, la derivada existe por ser una función racional cuyo denominador no se anula en el intervalo. 💡 **Tip:** Para derivar $\frac{4}{x+1}$, puedes usar la regla del cociente o verla como $4(x+1)^{-1}$, cuya derivada es $-4(x+1)^{-2} \cdot 1$.

Para comprobar si es derivable en $x = 2$, calculamos las derivadas laterales: - Derivada lateral izquierda: $f'(2^-) = \frac{2(2)}{3} = \frac{4}{3}$. - Derivada lateral derecha: $f'(2^+) = -\frac{4}{(2 + 1)^2} = -\frac{4}{9}$. Como $f'(2^-) \neq f'(2^+)$ (pues $\frac{4}{3} \neq -\frac{4}{9}$), la función **no es derivable en $x = 2$**. ✅ **Resultado (derivabilidad):** $$\boxed{f(x) \text{ es derivable en } (0, +\infty) \setminus \{2\}}$$

**b) (1.25 puntos) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, el máximo de la función y represente gráficamente la función $f$.** Analizamos el signo de la primera derivada $f'(x)$ en cada tramo: - **Tramo $0 < x < 2$**: $f'(x) = \frac{2x}{3}$. Como $x$ es positivo en este tramo, $f'(x) \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. - **Tramo $x > 2$**: $f'(x) = -\frac{4}{(x + 1)^2}$. Como el denominador está al cuadrado (siempre positivo) y el numerador es negativo, $f'(x) \lt 0$, por lo que la función es **decreciente**. Utilizamos una tabla para visualizar la monotonía: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0,2) & 2 & (2,+\infty) \\\hline f'(x) & + & \nexists & - \\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ ✅ **Resultado (monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en } (0, 2) \text{ y decreciente en } (2, +\infty)}$$

Dado que la función es continua en $x = 2$, crece a su izquierda y decrece a su derecha, existe un **máximo relativo** en $x = 2$. Calculamos su valor ordenado: $$y = f(2) = \frac{4}{3} \approx 1.33$$ Como la función no tiene otros puntos donde la derivada se anule y el comportamiento en los extremos del dominio no supera este valor, este es también el máximo absoluto en el dominio dado. ✅ **Resultado (máximo):** $$\boxed{\text{Máximo en el punto } \left(2, \frac{4}{3}\right)}$$

Para representar la función, unimos los dos tramos: 1. Un arco de parábola que va desde $(0,0)$ hasta $(2, 4/3)$. 2. Una rama hiperbólica que parte de $(2, 4/3)$ y se aproxima al eje $X$ (asíntota horizontal $y=0$) cuando $x \to +\infty$. El punto $(2, 4/3)$ es un punto anguloso debido a la no derivabilidad.